Simplicité de SOn(R)

Théorèmes de Kakutani et Massera

Théorème du point fixe de Brouwer

Théorème de Jordan C1

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Le caractère $C^\infty$ de la décomposition est fait dans Calcul Différentiel, mais de manière très elliptique. Le reste est plus développé dans (par exemple) le H2G2.

Théorème du point fixe de Brouwer

D'après moi pour les leçons : 203, 204, 214 et 215.

Je n'ai jamais pu mettre la main sur le livre de M. Gonnord et Tosel, donc ma version provient de celle de Mathieu Dutour que je remercie grandement.

Le développement est excessivement long, voir mes remarques à la fin du document pour le faire tenir en 15 minutes.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Théorème de Jordan C1

Recasage: 204, 267, pas 245

Gonnord/Tosel p95
Attention, le livre donne plus des indications qu'une preuve détaillée. Il y a beaucoup de trous à combler !
Commentaires en fin de document. La partie sur l'indice est à savoir faire, mais il ne faut pas la présenter.

Mon site: https://esuong-maths.fr

Théorème du point fixe de Brouwer

Théorème de Sard

Recasages : 214, 215

C'est un développement qui est assez difficile à présenter car les sources sont elliptiques sur la preuve. C'est pourquoi j'ai essayé de détailler au maximum les arguments (on peut faire un très beau dessin aussi).

Comme je précise dans les compléments ce théorème est un pilier de la topologie différentielle, il a donc tout à fait sa place dans les plans de leçon sur le calcul différentiel (vérifié par un professeur). Cependant, je ne sais pas si je garderai ce développement pour le jour J car il est fortement hors-programme.

Si vous avez des questions sur le développement vous pouvez m'envoyer un email, je répondrai avec plaisir.

Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Un développement assez difficile, qui use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie, avec pour contre-partie un bon recasage, notamment dans les deux leçons d'équa diff, sans donner un ressenti trop "équa diff" (pas de lemme de Gronwall et autres joyeusetés). Ça justifie également de faire la leçon sur les donctions différentiables dans le cadre des espaces de Banach plutôt que dans R^n, si vous êtes emballé.e par ça !
Comme le calcul diff, surtout en dimension infinie où on ne peut pas se reposer sur le calcul des dérivées partielles, peut-être un peu rebutant, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible, en faisant attention à mettre bien en valeur la nature des différents objets manipulés. En conséquence, le document est très long, mais à mon avis, tout ne peut pas être fait avec autant de détails en 15 minutes.
J'ai ajouté une annexe à la fin où j'ai mis et démontré les propriétés utiles de la résolvante, qui peuvent servir selon le chemin de preuve choisi.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Connexité. Exemples et applications.

Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Plan de leçon éprouvé par une présentation durant l'année. Le plan est très dense ; on peut tout à fait ne pas faire la troisième partie si on n'est pas à l'aise avec les sous-variétés. On se rangera à l'avis du jury, qui considère qu'il est inutile de présenter les résultats en dimension infinie si les seuls exemples que l'on en sort ne relèvent que de la dimension finie (cf. Rouvière, Chp 5).