Référence : Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Développement :
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme
Remarque :
Le caractère $C^\infty$ de la décomposition est fait dans Calcul Différentiel, mais de manière très elliptique. Le reste est plus développé dans (par exemple) le H2G2.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Calcul différentiel , Gonnord, Tosel

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- isometries.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Dans le cas complexe, qui ne change strictement rien à la démonstration.
Présenté avec le couple (module,argument) qui me semble plus logique.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Décomposition polaire.pdf

Un isomorphisme entre groupes de Lie

Développement :
Un isomorphisme entre groupes de Lie
Remarque :
On admet que ce sont bien des sous-variétés.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- dev.pdf

Isomorphismes de groupes projectifs linéaires

Développement :
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Remarque :
J'en montre un sur $\mathbb{F}_4$ au passage.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- dev.pdf

Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow

Développement :
Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Groupes du Cube & Sylows (101,104,105,181,191).pdf

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Développement :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_homeo_exponentielle.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_formes_Hankel.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_isometries_cube.pdf

SO₃(R) et les quaternions

Développement :
SO₃(R) et les quaternions
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_isomorphisme_quaternions.pdf

Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre

Développement :
Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
Références :
- Algèbre discrète de la transformée de Fourier , Peyré
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isometries_Et_Table_de_S4.pdf

Etude de O(p,q)

Développement :
Etude de O(p,q)
Remarque :
Développement faisant intervenir le théorème de décomposition polaire, le fait que exp: S_n(R) dans S_n^++(R) est un homéomorphisme et les isométries d'une forme quadratique particulière.

Développement n°27 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Etude de O(p;q).pdf

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Développement :
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isomorphismes exceptionnels.pdf

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- PM4TAgreg_Frobenius.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- PM4TAgreg_Polaire.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isométries cube tétraèdre.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Références :
Fichier :
- LRQ.pdf

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Développement :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Exp homéo.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isométries du cube et du tétraèdre.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Loi de réciprocité quadratique.pdf

Le groupe SO3(R) est simple

Développement :
Le groupe SO3(R) est simple
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- SO_3 est simple.pdf

Isométries du cube

Développement :
Isométries du cube
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Groupe d'isométries du cube.pdf

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Développement :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Homéomorphisme de Sn(R) dans Sn++(R) et décomposition polaire.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée.

Attention aux coquilles.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Décomposition polaire.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Remarque :
Un résultat rigolo, qui correspond au passage au quotient par $(P)$ de la forme quadratique :
$$
\begin{array}{rcl}
\mathbb{C}[X] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\
Q & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i = 1}^{t}m_iQ(\alpha_i)^2
\end{array}
$$
où on a noté $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ les racines complexes distinctes de $P$ et $m_1,\ldots,m_t$ les multiplicités des racines de $P$.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)

Développement :
Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)
Remarque :
J'ai détaillé quelques points passés sous silence dans le H2G2. Le développement n'est finalement pas si long mais il faut être un peu familier avec le langage des sous variétés. Il y a sans doute des coquilles
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- iso_groupes_lie.pdf

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Développement :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Remarque :
Un développement sympa qui n'utilise que des techniques classiques.

Je prends ce développement pour les leçons 101, 152 et 190.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 264.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- 2_ Nombre d_endomorphismes diagonalisables sur un corps fini.pdf

Isométries du cube

Développement :
Isométries du cube
Remarque :
C'est un développement sympa mais il faut s'entraîner à visualiser les rotations du cube.
J'ai aussi repris un tableau de Geoffroy Deperle à la fin (je le trouve très bien fait) mais il y a une petite coquille je crois.

Je le prends pour les leçons 101 et 191.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 363 (le théorème) et 375 (l'application, elle est sous forme d'exercice).
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- 35_ Isométries du cube _ Colorations.pdf

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Développement :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Remarque :
Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Homéomorphisme de S_n dans S_n++.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Remarque :
Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.

Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Loi de réciprocité quadratique.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Développement.pdf

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Développement :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
Remarque :
Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Réduction de Frobenius.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Décomposition polaire.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isométries du cube.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Un développement classico classique, mais qui marche très bien: il est plutôt riche, passe bien dans les temps, et parle de topologie, ce qui est toujours mignon quand on est dans des espaces de matrices.
Bien sûr, il faut mettre un accent important sur les applications qui sont très nombreuses. Pour les références, le H2G2 tome 1 le fait tout à fait honnêtement, et de mémoire, il y a aussi des applications classiques du résultat.
Les recasages à mon avis:
- Groupe linéaire d'un ev de dimension finie.
- Endomorphismes diagonalisables
- Matrices symétriques et hermitiennes
- Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
- Exemples de décompositions de matrices

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- decomposition_polaire.pdf

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications

Leçon :
Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
Références :
Fichier :
- 2017_106.pdf

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
- Algèbre , Gourdon
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- 2017_153.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 2017_157.pdf

182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

Leçon :
Applications des nombres complexes à la géométrie.
Références :
Fichier :
- 2017_182.pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
Références :
Fichier :
- 2017_170.pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan présenté à la préparation de Rennes 1.
Références :
Fichier :
- lecon154.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Références :
Fichier :
- leçon_160.pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
La partie "théorie analytique des nombres" est peu être trop poussée (pour une leçon d'algèbre).
Il manque des choses sur la cryptographie.
Références :
Fichier :
- L 121.pdf

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

Leçon :
Exemples d’équations diophantiennes.
Références :
Fichier :
- L126.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- L 150.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
Fichier :
- L153.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- L 190.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- L 203.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- Combinatoire.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

204 : Connexité. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.
Références :
Fichier :
- 101 - 20sd.pdf

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
Plan présenté le jour J.
Références :
Fichier :
- Leçon 121.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 204.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- Leçon 150.pdf

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 150 Exemples d_actions de groupes sur les espaces de matrices..pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 156 Exponentielle de matrices. Applications..pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
Références :
Fichier :
- 158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes..pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie)..pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications..pdf

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Leçon :
Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications..pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Il faut être solide sur la géométrie différentielle avant de vouloir différentier les actions !
Références :
Fichier :
- 101_perso.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
Le crochet de Lie d'une algèbre de Lie vient de la conjugaison du groupe associé ! Mais il faut être carré sur la géométrie différentielle.
Références :
Fichier :
- 103_perso.pdf

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

123 : Corps finis. Applications.

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Remarque :
Dans la deuxième édition du Rombaldi, ya carrément un chapitre dédié.
Le deuxième développement n'est pas adapté : il introduit trop de notions extérieures à la leçon. Je préfère mettre des isomorphismes quaternioniques par exemple.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- 150_perso.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Références :
Fichier :
- 157_perso.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Il faut plus orienter cette leçon sur l'aspect matriciel ... et moins l'aspect des formes quadratiques/hermitiennes (même si elle peut être présentée).
Références :
Fichier :
- 158_perso.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- 190_perso.pdf

191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

204 : Connexité. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Ce plan est à mon avis trop long pour être préparé en 3h : il faut faire des choix (= ne pas parler de LU et Cholesky).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_158.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon durant l'année. On peut parler de la différentielle de l'exponentielle si on veut
Références :
Fichier :
- 156.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Références :
Fichier :
- b0 126.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Il faudrait trouver d'autres applications. (Je crois qu'il y en a dans Grifone)
Références :
Fichier :
- b0 156.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Plan non détaillé rapide fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 158.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Références :
Fichier :
- b0 160.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
C'est du fait maison donc ca vaut ce que ca vaut. Le plan a tout de même été approuvé par mes profs
Références :
Fichier :
- Leçon_148.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 101.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Références :
Fichier :
- 126.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury
Références :
Fichier :
- Leçon 101.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 101.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
J'ai laissé des questions/exercices que j'ai pu traiter pendant mon année de préparation, n'hésitez pas à me dire si vous voyez une erreur ou un raisonnement trop rapide.
Références :
Fichier :
- Leçon 101.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 103.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 103.pdf

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes finis. Exemples et applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 104.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 104.pdf

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Leçon :
Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 105.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 105.pdf

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Leçon :
Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 106.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 106.pdf

108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Leçon :
Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 108.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 108.pdf

123 : Corps finis. Applications.

Leçon :
Corps finis. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 123.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 123.pdf

152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 152.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 152.pdf

155 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 155.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 155.pdf

158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 158.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Leçon 158.pdf

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Leçon :
Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 161.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 161.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 190.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 190.pdf

191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Leçon :
Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 191.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 191.pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
Références :
Fichier :
- Leçon 121.pdf

153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
Remarque :
Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)
Références :
Fichier :
- Leçon 153.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 203.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 203.pdf

206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Leçon :
Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 206.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 206.pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
Remarque :
Je déteste.
Références :
Fichier :
- 170.pdf

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisée dans les 21 développements suivants :

Utilisée dans les 28 leçons suivantes :

Utilisée dans les 49 versions de développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition polaire

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Isomorphisme entre PSU2(C) et SO₃(R)

Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id

Formes de Hankel

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Etude de O(p,q)

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Décomposition polaire

Un isomorphisme entre groupes de Lie

Isomorphismes de groupes projectifs linéaires

Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Formes de Hankel

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

SO₃(R) et les quaternions

Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre

Etude de O(p,q)

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Décomposition polaire

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Formes de Hankel

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Le groupe SO3(R) est simple

Isométries du cube

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Décomposition polaire

Formes de Hankel

Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Isométries du cube

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition polaire

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Décomposition polaire

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Décomposition polaire

Utilisée dans les 71 versions de leçons suivantes :

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

121 : Nombres premiers. Applications.

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

204 : Connexité. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.