Référence : Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Développement :
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme
Remarque :
Le caractère $C^\infty$ de la décomposition est fait dans Calcul Différentiel, mais de manière très elliptique. Le reste est plus développé dans (par exemple) le H2G2.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Calcul différentiel , Gonnord, Tosel

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- isometries.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Dans le cas complexe, qui ne change strictement rien à la démonstration.
Présenté avec le couple (module,argument) qui me semble plus logique.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Décomposition polaire.pdf

Un isomorphisme entre groupes de Lie

Développement :
Un isomorphisme entre groupes de Lie
Remarque :
On admet que ce sont bien des sous-variétés.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- dev.pdf

Isomorphismes de groupes projectifs linéaires

Développement :
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Remarque :
J'en montre un sur $\mathbb{F}_4$ au passage.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- dev.pdf

Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow

Développement :
Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Groupes du Cube & Sylows (101,104,105,181,191).pdf

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Développement :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_homeo_exponentielle.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_formes_Hankel.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_isometries_cube.pdf

SO₃(R) et les quaternions

Développement :
SO₃(R) et les quaternions
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_isomorphisme_quaternions.pdf

Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre

Développement :
Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
Références :
- Algèbre discrète de la transformée de Fourier , Peyré
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isometries_Et_Table_de_S4.pdf

Etude de O(p,q)

Développement :
Etude de O(p,q)
Remarque :
Développement faisant intervenir le théorème de décomposition polaire, le fait que exp: S_n(R) dans S_n^++(R) est un homéomorphisme et les isométries d'une forme quadratique particulière.

Développement n°27 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Etude de O(p;q).pdf

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Développement :
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isomorphismes exceptionnels.pdf

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- PM4TAgreg_Frobenius.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- PM4TAgreg_Polaire.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isométries cube tétraèdre.pdf

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Développement :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Références :
Fichier :
- LRQ.pdf

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Développement :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Exp homéo.pdf

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
Fichier :
- Isométries du cube et du tétraèdre.pdf

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications

Leçon :
Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
Références :
Fichier :
- 2017_106.pdf

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
- Algèbre , Gourdon
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- 2017_153.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 2017_157.pdf

182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

Leçon :
Applications des nombres complexes à la géométrie.
Références :
Fichier :
- 2017_182.pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
Références :
Fichier :
- 2017_170.pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan présenté à la préparation de Rennes 1.
Références :
Fichier :
- lecon154.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Références :
Fichier :
- leçon_160.pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
La partie "théorie analytique des nombres" est peu être trop poussée (pour une leçon d'algèbre).
Il manque des choses sur la cryptographie.
Références :
Fichier :
- L 121.pdf

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

Leçon :
Exemples d’équations diophantiennes.
Références :
Fichier :
- L126.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- L 150.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
Fichier :
- L153.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- L 190.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- L 203.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- Combinatoire.pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

204 : Connexité. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.
Références :
Fichier :
- 101 - 20sd.pdf

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
Plan présenté le jour J.
Références :
Fichier :
- Leçon 121.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 204.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- Leçon 150.pdf

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 150 Exemples d_actions de groupes sur les espaces de matrices..pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 156 Exponentielle de matrices. Applications..pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
Références :
Fichier :
- 158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes..pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie)..pdf

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Leçon :
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
Références :
Fichier :
- 170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications..pdf

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Leçon :
Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications..pdf

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Remarque :
Il faut être solide sur la géométrie différentielle avant de vouloir différentier les actions !
Références :
Fichier :
- 101_perso.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
Le crochet de Lie d'une algèbre de Lie vient de la conjugaison du groupe associé ! Mais il faut être carré sur la géométrie différentielle.
Références :
Fichier :
- 103_perso.pdf

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

123 : Corps finis. Applications.

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
Remarque :
Dans la deuxième édition du Rombaldi, ya carrément un chapitre dédié.
Le deuxième développement n'est pas adapté : il introduit trop de notions extérieures à la leçon. Je préfère mettre des isomorphismes quaternioniques par exemple.
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- 150_perso.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Références :
Fichier :
- 157_perso.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Il faut plus orienter cette leçon sur l'aspect matriciel ... et moins l'aspect des formes quadratiques/hermitiennes (même si elle peut être présentée).
Références :
Fichier :
- 158_perso.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- 190_perso.pdf

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisés dans les 31 versions de développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Décomposition polaire

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Isomorphisme entre PSU2(C) et SO₃(R)

Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id

Formes de Hankel

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Etude de O(p,q)

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Décomposition polaire

Un isomorphisme entre groupes de Lie

Isomorphismes de groupes projectifs linéaires

Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Formes de Hankel

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

SO₃(R) et les quaternions

Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre

Etude de O(p,q)

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Décomposition polaire

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Utilisés dans les 41 versions de leçons suivantes :

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

121 : Nombres premiers. Applications.

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

204 : Connexité. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

123 : Corps finis. Applications.

150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

204 : Connexité. Exemples et applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.