Leçon 182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

(2016) 182
(2018) 182

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie.) Cette leçon ne doit pas rester au niveau de la classe de Terminale. L’étude des inversions est tout à fait appropriée, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi étudier l’exponentielle complexe et les homographies de la sphère de Riemann. La réalisation du groupe $SU_2$ dans le corps des quaternions et ses applications peuvent trouver leur place dans la leçon. Il est possible de présenter les similitudes, les homographies et le birapport.

(2016 : 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie.) Cette leçon ne doit pas rester au niveau de la classe terminale. L’étude des inversions est tout à fait appropriée, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. Il est nécessaire de présenter les similitudes, les homographies et le birapport. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi étudier l’exponentielle complexe et les homographies de la sphère de Riemann. La réalisation du groupe SU 2 dans le corps des quaternions et ses applications peuvent trouver leur place dans la leçon.
(2015 : 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.) Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. L'étude des inversions est tout à fait appropriée dans cette leçon, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement. La formule de Ptolémée, pour donner un exemple, illustre bien l'utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(\mathbb{C})$. Une étude de l'exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée. La réalisation du groupe $SU_2$ dans le corps des quaternions et ses applications peuvent trouver sa place dans la leçon.
(2014 : 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.) Cette leçon ne saurait rester au niveau de la Terminale. Une étude de l'exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est tout à fait appropriée. La réalisation du groupe $SU_2$ dans le corps des quaternions et ses applications peuvent trouver sa place dans la leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie.


2016 : Leçon 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie.


2015 : Leçon 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 182 - Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Leçon choisie :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    SO₃(R) et les quaternions

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan s'est très bien passée, avec un bon timing et le jury avait l'air intéressé (enfin, avec ce tirage c'est dur d'intéresser mais ils ont été réceptifs).
    Pour le développement, j'ai fait tout ce que je voulais sans me tromper. Le jury ne m'a pas interrompu pendant ma conclusion ; j'avais fini en 14min 30 donc je me suis dit que j'allais continuer à blablater 30 secondes, et finalement j'ai blablaté plus d'une minute mais le jury ne m'a pas interrompu donc le dvp a duré plutot 15min30 / 16min. Suivent les questions :

    Q : pourquoi vous avez cette formule pour les quaternions ? (j'ai dit que la multiplication était donnée par $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$, plutôt que les relations d'anticommutation).
    R : historiquement c'est comme ça que l'a introduit Hamilton etc. On retrouve les relations d'anticommutation comme ça blabla

    Q : pourquoi ça définit bien un produit ?
    R : il prolonge celui de R et de C, et on vérifie que ça définit bien une structure d'algèbre etc.

    Q : oui mais c'est-à-dire ?
    R : pardon ?

    Q : vous avez pas une méthode plus directe ?
    R : on peut trouver une représentation matricielle sur $M_2(\mathbb{C})$ comme ça puis voilà

    Q : et la conjugaison quaternionique se manifeste comment ?
    R : là j'ai dit une connerie (conjugaison) et je me suis rattrapé en disant que c'était le passage à l'adjoint etc.

    Q : quelle est l'intérêt d'utiliser cet isomorphisme ?
    R : informatiquement on a moins d'erreur de calcul que par le produit matriciel dans $SO_3$.

    Q : comment on détermine l'angle de la rotation définie par un quaternion $q$ ?
    R : (là j'ai réfléchi et baragouiné un truc chelou) je veux la trace de la matrice alors je regarde dans la base orthonormée $\left(i,j,k\right)$ et je regarde comment faire pour avoir les coeff diagonaux et ça donne $1 + 2 \cos \theta$. J'ai commencé à écrire des trucs il m'a demandé d'arrêter ça prendrait trop de temps.

    Q : si j'ai trois points $A$ $B$ et $C$ sur le cercle unité, montrer que $ABC$ équilatéral $\iff$ $z_A + z_B + z_C = 0$
    R : par action du groupe affine je me ramène à $A = 1$ (là je me fais un peu engueuler) euh pardon par action des isométries je me ramène à $A = 1$ et j'obtiens que l'un des cas est évident ($1 + j + j^2 = 0$). Pour l'autre implication j'ai été coupé dans ma démo par "que peut-on dire des parties imaginaires des deux autres affixes ?" donc j'ai fait un sourire (j'allais y venir mais il l'a dit avant que je le dise moi) et j'ai dit "bah elles sont de signes opposées et" et là je me fais couper "oui ok passons à autre chose"

    Q : dans votre formule de ptolémée pourquoi vous le mettez en première partie (géo affine euclidienne) et pas en projective ?
    R : ça se montre en projectif mais à l'aide des affixes complexes, et pour illustrer cette partie, je le mets là. On le montre comme ça blabla

    Q : Ok. Et en projectif alors ?
    R : alors bah j'pense que faut utiliser le birapport pour montrer la cocyclicité ça doit bien se faire...

    Q : oui bah faites alors
    R : alors je dois trouver une homographie qui balance ça comme ça

    [...]

    quelques indications plus tard je pense à utiliser une inversion par l'un des points qui marche bien

    Q : les inversions c'est des homographies ?
    R : je crois (grosse bêtise)

    Q : vous êtes sûr ?
    R : je regarde

    beh non c'est une anti-homographie (i.e la conjuguée complexe d'une homographie) mais ça résout quand même le problème

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable, très calme avec une voix très basse et pas trop speed. Assez bienveillant je dirai. Ils ont vu mon tirage ils ont dû se dire miskine on va pas gueuler trop fort.
    L'un des trois membres du jury a été beaucoup plus muet (seule question c'est le coup du triangle équilatéral)
    Les premières questions sur mon développement étaient essentiellement d'un seul membre. Les dernières étaient de la troisième membre du jury.
    Le jury a été très sympatique dans l'ensemble, je ne l'ai pas senti agacé ou quoi, mais visiblement ils sont tous sympas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment : j'ai eu le pire tirage que je pouvais imaginer, et dans la panique j'ai pas su quel bouquin prendre. Heureusement que j'avais de très bons développements.
    J'ai fait un plan pas très complet je pense pour ce qui est de la géométrie euclidienne et projective, j'ai essayé de rattraper ça avec beaucoup de trucs sur les constructibles et les quaternions. Ça a l'air de leur avoir plu quand même, on verra.
    Pour la préparation, j'ai pas trouvé les malles du premier coup mais c'est parce que je suis un gland doublé d'un abruti !
    Les appariteurs sont vraiment sympas et j'ai juste eu du mal à récupérer une quatrième feuille pour mes annexes mais bon.
    J'ai été surpris parce que la discussion paraît très très courte (bien plus courte que à la préparation à l'école, mais c'est ptet que nos profs veulent vraiment nous pousser tout au bout de nos retranchements).
    On verra pour la note, je pense que j'ai fait un des meilleurs trucs possibles pour moi sur cette leçon, que je n'ai pas préparée dans l'année, et c'était vraiment la pire après la 162. Pas de bol ça arrive, j'ai quand même l'impression d'avoir sauvé les meubles.
    Je pense qu'il faut surtout en retenir que y a pas de jury méchant et ils ont tout fait pour qu'on ait des discussions intéressantes, et ils ont cherché à juger de mon niveau de réflexion au delà des trucs bateaux sur les triangles donc je suis content.

  • Note obtenue :

    17


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Visual Complex Analysis, Needham (utilisée dans 1 versions au total)
Algèbre et géométries, Boyer (utilisée dans 3 versions au total)