Cours d'algèbre

Demazure

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Algorithme de Berlekamp
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Polynômes irréductibles sur Fq
Construction des codes cycliques, classes cyclotomiques
Tests de primalité

Utilisée dans les 4 leçons suivantes :

142 (2026) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
121 (2026) Nombres premiers. Applications.
123 (2026) Corps finis. Applications.
141 (2026) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Utilisée dans les 7 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 123, 125, 141 et 144.

    J'ai pris comme référence le livre de M. Demazure, mais c'est assez lapidaire...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement qui ne m'emballait vraiment pas de prime abord, et qui finalement a su se révéler assez amusant à mener. Il a les avantages d'être original, de se recaser dans les infâmes leçons 120 et 121 avec brio, et de proposer un résultat algébrique qui a des applications concrètes immédiates (donc un must have pour l'agreg !). J'envisage également de le recaser dans la leçon 127, bien que je sois un peu dubitative à ce sujet ; si on se fie au nom de la leçon ("Exemples de nombres remarquables"), ça semble coller à merveille, et pourtant le rapport du jury ne mentionne pas une seule fois les nombres de Carmichael ni même les nombres premiers... A voir donc.

    Petite note : ce développement repose abondemment sur les symboles de Legendre et de Jacobi : il faut donc être à l'aise avec ces choses là pour présenter ce dev !
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 12 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Plan préparé en présenté en oral blanc, en conditions réelles d'examen. Je vais essayer de faire un retour assez complet de l'oral.

    J'ai introduit le sujet en disant que les nombres premiers sont étudiés depuis l'antiquité, et pourtant ils restent encore aujourd'hui au cœur de problèmes de recherche, ce qui révèle l'étendue en la richesse des thèmes qui les entourent. Mon jury a ajouté qu'on aurait pu également dire que les étudier a un intérêt pédagogique, car il est très facile d'expliquer ce qu'est un nombre premier et de faire de l'arithmétique élémentaire avec (on le fait dès le lycée) et pourtant ça n'en est pas moins une notion profonde toujours étudiée en maths modernes.

    Par rapport au plan lui-même, il contient une inexactitude dans l'ordre des théorèmes (le lemme d'Euclide qui arrive un peu tard) ce qui a conduit au jury à me faire prouver que les anneaux principaux sont factoriels. Il y a également une erreur au niveau du critère d'Eisenstein. Mis à part ça, le jury n'a pas relevé de problème dans le fond du plan, et les deux développements ont été validés (j'ai présenté le critère de Solovey-Strassen).

    Voici une petit récapitulatif des questions que j'ai eues :
    1) Comment le critère de Solovey-Strassen s'applique-t-il concrètement ? Comment faire les calculs en pratique ? Une idée du temps de calcul ?
    2) Est-ce que l'algorithme de Solovey-Strassen finit par devenir déterministe lorsque $k$ augmente ? D'où vient le $1/2^k$ qui apparait dans la borne probabiliste ?
    3) Pouver le lemme d'Euclide (sans utiliser la décomposition en facteurs premiers puisque celle-ci recquiert le lemme d'Euclide pour sa preuve)
    4) Corriger le critère d'Eisenstein. Contre-exemple au théorème faux énoncé ?
    5) Prouver le théorème 44

    Après quoi le jury m'a donné un exercice : soit $a$ un entier tel qu'il existe $n$ tel que pour tout entier $k$ non nul, $a$ est une puissance $n$-ième modulo $k$.

    En conclusion, l'oral c'est globalement bien passé. Toutefois, il faut faire attention, particulièrement dans ce genre de leçon, à ne pas perdre de vue les démonstrations des théorèmes les plus élémentaires car le jury nous attend là-dessus, et on peut facilement les oublier une fois qu'on apprend des résultats de bien plus haut niveau. Par ailleurs, il y a pas mal de choses dont j'ai parlé dont on peut très bien se passer si on ne se sent pas à l'aise dessus (symboles de Legendre et de Jacobi, théorèmes de Sylow, etc.), il y a plein d'autres choses à faire dans cette leçon.

    Elements de réponse aux questions :
    1) La plus grosse difficulté calculatoire est de calculer les symboles de Jacobi. On peut les calculer en utilisant un algorithme très similaire à celui du calcul des symboles de Legendre, qui repose sur la loi de réciprocité quadratique (qui reste vraie pour les symboles de Jacobi). Le calcul se fait en O(log(n)^3)
    2) Enoncé ainsi, l'algorithme ne devient jamais déterministe car les entiers testés sont tirés aléatoirement avec remise. Cela dit, on pourra facilement modifier l'algo pour faire un tirage sans remise, auquel cas l'algo devient déterministe si on prend $k = n$ (mais dans ce cas l'algo est très mauvais). Le 1/2 vient du fait que l'ensemble des entiers entre 1 et n qui passent le test est un sous-groupe stricte de (Z/nZ)* si n est non premier. Son cardinal est donc majoré par n / 2.
    4) Le critère fournit l'irréductibilité sur Q. 2X + 6 est un contre-exemple (il passe le teste d'Eisenstein avec p = 3).
    5) On le prouve par récurrence sur r en utilisant le fait que le centre est non-trivial. L'astuce consiste à prendre le sous-groupe cherché dans Z(G) ou G / Z(G) (et ensuite le tirer en arrière par la projection sur le quotient).
  • Références :
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