Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

avec l'étude dans les corps finis.

Polynômes irréductibles sur Fq

D'après moi pour les leçons : 123, 125, 141 et 144.

J'ai pris comme référence le livre de M. Demazure, mais c'est assez lapidaire...

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Algorithme de Berlekamp

Inspiré du Saux Picard et du Demazure, mais réarrangé à ma sauce maison.

Polynômes irréductibles sur Fq

Bien lire le document pour choisir sa référence, il y en a pour tous les goûts !

Je le mets pour la 123, 125 et 141. Pour la 125, Francinou-Gianella/Demazure me parait incontournable.

Tests de primalité

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Construction des codes cycliques, classes cyclotomiques

Pardon pour le brouillon en guise de notes, j'essaierai de rédiger proprement ce développement quand j'aurai un peu plus de temps...

/!\ Il y a deux versions du cours d'algèbre de Demazure, et elles se ressemblent BEAUCOUP (la fameuse couverture pêche), faites bien attention à avoir la deuxième édition pour ce développement ! /!\

Tests de primalité

Un développement qui ne m'emballait vraiment pas de prime abord, et qui finalement a su se révéler assez amusant à mener. Il a les avantages d'être original, de se recaser dans les infâmes leçons 120 et 121 avec brio, et de proposer un résultat algébrique qui a des applications concrètes immédiates (donc un must have pour l'agreg !). J'envisage également de le recaser dans la leçon 127, bien que je sois un peu dubitative à ce sujet ; si on se fie au nom de la leçon ("Exemples de nombres remarquables"), ça semble coller à merveille, et pourtant le rapport du jury ne mentionne pas une seule fois les nombres de Carmichael ni même les nombres premiers... A voir donc.

Petite note : ce développement repose abondemment sur les symboles de Legendre et de Jacobi : il faut donc être à l'aise avec ces choses là pour présenter ce dev !

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Nombres premiers. Applications.

Corps finis. Applications.

Corps finis. Applications.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Plan éprouvé par une présentation en cours d'année.

Référence supplémentaire: Algèbre I : Daniel Guin

(Je le réécrirai plus proprement dès que possible, désolé...)

Nombres premiers. Applications.

Plan sur lequel je suis passé en oral blanc de milieu d'année. Résolument orienté vers le calcul formel.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).

Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin : Autour du ppcm et du pgcd

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 142.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. Faire attention à la définition de polynômes irréductibles dans le Gozard qui n'est pas classique et qui peut poser des problèmes.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).