Leçon 123 : Corps finis. Applications.

123 : Corps finis. Applications.

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Questions sur le dev :

Q : "Je ne comprends pas, vous prenez p un nombre premier impair et vous insinuez que d = (p-1)/2 est un entier par la suite ?"
(je suis encore sidéré d'une telle question, à la tête du jury qui m'a posé la question, il s'est lui-même rendu compte que ça question était ridicule quand j'y ai répondu)

Q : Vous pouvez réexpliquer comment vous compter le nombre d'éléments de l'ensemble X' ? (je garde les notations de Caldero)
(en fait vu qu'ils n'avaient rien écoutés pendant le développement relire à voix haute la colonne correspondante de mon tableau en faisant exactement les mêmes commentaires que ceux faits pendant mon développement, ça leur a suffit).

Q : Pouvez-vous expliciter une bijection entre votre hyperplan affine et un autre ensemble ?
(Un hyperplan affine c'est l'ensemble des {x,l(x)=c} pour une certain forme linéaire non nulle, c'est donc naturellement en bijection (via une translation des éléments) avec Ker(l) qui est un hyperplan vectoriel dont on dénombre facilement les éléments dans le cas d'un corps fini).
Cet argument pourtant 100% correct a été refusé catégoriquement par le jury qui m'a posé la question sans pour autant me dire ce qu'il attendait de moi, laissant un blanc s'installer. Il a préféré soupirer et laisser le temps s'écouler...

Q : Vous utilisez la classification des formes quadratiques non dégénérées sur un corps fini dans votre développement : pouvez-vous l'énoncé et la démontrer ?

(enfin une question digne de ce nom, merci au jury du milieu d'avoir fini par couper son collègue insupportable sinon on y était encore. C'est évidemment une question indispensable à connaître quand on propose de développement, voire Caldero pour les détails, je démontre ça très facilement, ils ne souhaitaient même pas que je détaille le lemme sur l'existence d'une solution à ax²+by=1 dans les corps finis qui est la clé de la preuve).

Q : Est-ce que ça change quelque chose de définir le symbole de Legendre vant +/- 1 comme vivant dans Fp ou dans Z ?
(retour du jury insupportable, avec une question à laquelle j'avais déjà répondu pendant le développement, non ça ne change absolument rien c'est une histoire de convention et c'est complétement accessoire dans la preuve, il faut juste bien garder à l'esprit à quel moment on travaille modulo p ou non, évidemment il a râlé et n'était pas convaincu sans que je comprenne ce qu'il voulait me faire dire.)

Q : Je ne comprends pas pourquoi dans la formule des classes le cardinal de vos orbites vaut 1 ou p ?
(encore une fois je n'ai fait que relire à voix haute ce qui était déjà au tableau pendant le développement, on a Card(Orb(x)) = Card(Z/pZ)/Card(Stab(x) or Card(Z/pZ)=p est un nombre premier donc Card(Orb(x)) vaut 1 si l'orbite est un singleton et p sinon puisque ce sont les seuls diviseurs possibles.)


Questions sur le plan :

Absolument aucune question : pourtant j'avais quand même pris beaucoup de risques en donnant des résultats particulièrement riches et variés sur les corps finis (cyclicité du groupe des inversibles, th de l'élément primitif + applications, notions de racines de l'unité dans Fq, étude de la cyclotomie dans les corps finis, algorithmes de factorisation de polynômes dans Fq, dénombrement des polynômes irréductibles, intérêt de chercher des racines dans des extensions, lemme de Zolotarev et applications, résultats matriciels dans les corps finis...) visiblement ils n'ont pas jugés pertinent de me poser des questions sur ce plan (à mon grand regret). J'ai vu cette leçon en tant qu'auditeur 3 jours avant avec un autre jury qui avait posés pleins de questions de cours très classiques sur les corps finis à un bon candidat.

Ex 1 : Lister les polynômes irréductibles de degré 3 sur F_2[X]
(bon ça va vite il n'y en a pas beaucoup à tester surtout que le degré 3 permet de simplement vérifier la présence de racines pour conclure).

Ex 1 (la suite) : On vient de trouver que P1 = X^3+X+1 et P2 = X^3+X^2+1 étaient les deux seuls polynômes irréductibles de degré 3 sur F_2[X]. Pouvez-vous montrer que K1 = F_2[X]/(P1) est isomorphe à K2 = F_2[X]/(P2) ?

(je dis immédiatement que puisque les polynômes sont irréductibles ce sont des corps, comme ils ont le même nombre d'éléments ils sont automatiquement isomorphes. Le jury me dit que c'est correct mais qu'il voudrait un isomorphisme concret. Je signale que l'on va chercher à factoriser un morphisme par le th d'isomorphisme. Pour construire un tel morphisme phi, il suffit de savoir sur quoi envoyer X \in F_2[X], de sorte à ce que le noyau de phi soit exactement l'idéal engendré par P1. Ainsi envoyer X sur un élément b \in F_2[X]/(P2) tel que b soit une racine de P1 convient pour conclure (P1 étant irréductible, c'est le polynôme minimal de b). Le jury me demande comment trouver b en pratique, sauf qu'à part dire qu'un tel b existe car K1 est isomorphe à K2, visiblement il attendait autre chose de moi mais à part peut-être tester un à un les éléments de K2 (nécessairement on sait qu'il en existe un qui convient) je ne voyais pas trop.


Ex 2 : Soit p>3 un nombre premier et n un entier. A quelle condition 3 est-il un carré modulo p^n ?
(vu que la leçon s'appelle "corps finis" je commence par traiter le cas n=1 où l'on a un corps : c'est une application facile de la réciprocité quadratique où l'on trouve des conditions sur les congruences modulo 3 et modulo 4 ce qui par le th des restes chinois donne des congruences modulo 12. Le cas où n >1 n'a absolument rien à voir avec la théorie des corps finis : l'étude des éléments qui sont le carré d'un inversible dans Z/p^nZ utilise notamment que la réduction modulo p, pi : (Z/p^nZ)* -> (Z/pZ)* est surjective, c'est un peu technique mais détaillé dans Carnet de Voyages en Algébrie et présent dans l'écrit de l'agreg 2015, je n'ai pas le temps d'aller plus loin interrompu par la fin de l'oral même si je savais conclure.)

Jury particulièrement froid, visiblement terrassé par la chaleur et tirant la tronche systématiquement à chacune de mes réponses. Le contraste avec les jurys bienveillants que j'ai eu en analyse et modélisation est saisissant. Il y avait une femme qui n'a pas parlé ou presque, deux hommes dont un qui était très désagréable et complétement perdu, j'avais déjà vu un très bon candidat en tant qu'auditeur quelques jours avant qui partageait mon constat et était tout aussi déçu que moi en sortant.

Le plus désagréable (et de loin) des membres de jury n'a fait que de me donner des questions qui n'avaient absolument rien à voir avec le titre de la leçon et n'était jamais convaincu par les réponses, même quand j'étais persuadé que ce que je répondais était juste. J'étais passé devant toute la classe sur cette leçon et sur ce même développement en faisant l'unanimité, j'étais donc très confiant sur les questions avant d'arriver devant le jury.

Absolument pas. J'ai été particulièrement choqué que aucun des trois membres du jury ne m'écoute pendant mon développement : ils préféraient parler (assez forts et peu discrètement) entre eux ou encore s'amuser à régler le ventilateur : je sais que nous étions en canicule mais de là à visser/redévisser 4 fois le ventilateur en 15 mins au lieu de regarder le tableau ce n'est ni sérieux, ni respectueux...
Cela c'est vite ressenti dans la questions où pendant plus de 15 minutes on m'a posé des questions sur des choses que j'avais déjà dites pendant le développement et qui étaient souvent déjà écrites au tableau...
Je suis ressorti écœuré par le jury.

13.75

123 : Corps finis. Applications.

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

2 dév: Caractérisation des carrés de Fq et théorème des 2 carrés

J'étais content quand j'ai vu la leçon sur les corps finis car je suis pas trop à l'aise avec mais je connaissais bien mes dévs et les exos classiques. Et puis j'étais pas du tout convaincu par ce que j'aurai mis dans l'autre leçon.

Développement:

Q : Vous dites que P^(n-1)(Fq) a q^n-1 droites vectorielles et chacune a q-1 vecteurs directeurs, mais vous voulez dénombrer les droites vectorielles justement. (problème de vocabulaire de ma part)
Q : C'est pas comme ça qu'on définit les groupes projectifs linéaires quelle est la définition de base ? (j’avais directement quotienté par les homothéties)
Q : Comment montre-t-on que le centre est constitué des matrices scalaires ?
Q : C'est quoi le cardinal des racines n-ièmes de l'unité sur Fq, pas seulement dans le cas n=2 ?
Q : C'est quoi l'argument pour démontrer votre lemme (tout sous-groupe d'indice n de Sn est isomorphe à Sn-1) ?
Q : Pourquoi ces isomorphismes sont qualifiés d'exceptionnels ? (j'ai ressorti la petite histoire de Phil Caldero dans ses vidéos sur le sujet, ils ont eu l'air de bien aimer)

Questions sur le plan:

Q : Vous pouvez démontrer votre théorème 10 (il existe un polynôme irréductible de tout degré sur Fp) ?
Q : Vous donnez 2 méthodes de construction des corps finis, laquelle préférez-vous ?
Q : Ok mais comment trouver par exemple un polynôme de degré 100 irréductible sur F3 ? (je parle de Berlekamp et Cantor-Zassenhaus qui donne plutôt la décomposition en produit d'irréductibles)

Questions/exercices :

Q : Quel est le lien entre polynôme irréductible sur Fp et sur Z ?
Q : Et la réciproque ?
R : Elle est fausse, X^4+1 est irréductible sur Z car c'est phi8 mais est réductible sur Fp pour tout p
Q : Vous pouvez détailler ?
R : Sur F2 c'est (X^2+1)^2 et sur les autres on considère X^8-1=(X^4-1)(X^4+1), vous voulez que je détaille ?
Q : Bon bah on y est presque autant le faire
R : [J'essaie de ressortir les grandes idées du Perrin puis avec pas mal d'aide sur des détails j'y arrive]
Q : Bon bah on va essayer de trouver sa décomposition en irréductibles sur Fp. Alors sur F2 vous l'avez pas complètement
R : Tout à fait c'est (X+1)^4
Q : Ok donc maintenant pour p>2 on considère l'application phi de Fp[X]/(phi8) dans lui-même qui à Q barre associe Q barre puissance p, on veut trouver la dimension de l'espace propre associé à 1.
R : [je rigole] je dis que ça me fait penser à Berlekamp [le problème c'est que c'est pas dans l'option A ça :\]
Q : Ecrivez la décomposition en produit d'irréductibles de phi8.
Q : Là plein de questions du type pourquoi on peut considérer l'espace propre (phi est linéaire), pourquoi phi est linéaire (c'est l'itérée du Frobenius), que dire de notre espace quotient (théorème chinois), quelle propriété ont ces quotients (ce sont des corps) ?
R : [j'arrive à montrer que la dimension est égal au nombre de facteurs irréductibles, avec beaucoup de petites questions de leur part]
Q : Ok et maintenant comment trouver les éléments de cet espace propre ?
R : On pourrait résoudre un système
Q : Quoi d'autres comme méthodes ?
R : On pourrait calculer son polynôme caractéristique
Q : Et comment on ferait ça ?
R : Ah on considère la matrice de l'application phi dans une certaine base, on prend la base (1,X barre, X^2 barre, X^3 barre) et donc pour la première colonne c'est 1 et que des 0, pour la 2e euhhh X barre puissance p c'est quoi dans ma base
Q : Qu'est-ce qu'on sait de X barre ?
R : On a X barre puissance 4 égal -1
Q : Ok et donc comment en déduire les puissances ?
R : Par exemple si p égal 5 on a X barre puissance 5 égal à -X barre
Q : Ok et pour X barre puissance 7 ?
R : Bah là on aurait que c'est égal à X barre puissance 3
Q : Ok et donc pour tout p ?
R : Euh on aurait une espèce de relation de récurrence ?
Q : Non
R : euh je sais pas [fin]

Je sors content de mon oral car on a réussi à faire pas mal de choses. J'étais dynamique et réactif par rapport à leurs questions/remarques.

Les 3 membres du jury étaient très agréables, la dame n'a pas parlé pour la partie questions, les 2 hommes étaient agréables, l'un avait une tête à faire peur mais il était tout à fait normal dans la manière de discuter, c'était un oral agréable car un échange constant avec le jury et je ne suis jamais resté bloqué trop longtemps donc on avançait bien sur ce qu'on voulait démontrer.

L'oral s'est déroulé comme prévus. Par contre grosse vague de chaleur pendant les 3 jours donc j'étais en nage à la fin du développement. Le jury nous encourage à boire, il y avait même un brumisateur à disposition que j'ai utilisé avant la défense de plan. Et pour la partie questions, ils ont dirigé le ventilateur dans ma direction.
Attention: Les feuilles pour écrire sont bien plus petites qu'un format A4. Sur la 1ère page, il y a des encadrés pour mettre le couplage et le titre de la leçon choisie. Donc ça sert à rien de prévoir 50 items.
On a 2 tableaux: 1 à craie et 1 à feutre.

17.25

123 : Corps finis. Applications.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Théorème de Dirichlet faible

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Le jury m'a aidé à compléter mon développement qui avait deux trous (ce développement est assez long, pour pouvoir conclure j'ai passé vite).
J'ai eu du mal. Notamment comment le quotient des polynomes reste à coefficients entiers.

Dernier jour de mes oraux j'étais très fatigué avec une table de prof qui empêchait de se reculer du tableau pour voir plus large.

Q : construire le corps à 4 éléments. Table de multiplication. J'ai su faire.
Q : plonger le corps dans une extension (réponse : la dimension de l'e.v était fractionnaire donc pas possible de plonger le corps, toutes les puissances supérieures des nombres entiers ne conviennent pas). J'ai su faire
Q : différence entre irréductible et admettre des racines (sur des exemples velus). Critère d'irréductibilité dans une extension de corps.
Q : Sur le plan expliquer le lien avec les codes de Hamming (corps fini et décodage)
Q : Sur les corps de décomposition. Pas su répondre. en travaillant sur F27

Bienveillant, mais parfois j'avais un peu le sentiment d'avoir des rames...

J'aurais du proposer en dev la classification des formes quadratiques sur Fp, plus simple, que je maîtrisais bcp mieux. Il faut prendre un développement de niveau pas élémentaire mais qu'on maîtrise suffisamment. Le premier jour ce serait passé mais avec la fatigue, le dernier jour des oraux c'est dur....

Pronostic de note (casse gueule) : 11

12.5

123 : Corps finis. Applications.

161 : Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.

Construction des corps finis

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Exercices qui étaient pour la plupart en lien avec le développement développé. Aucune question sur le plan. Pas de question pédagogique.

Prendre un générateur de $F_q^*$ ($q=p^n$) et donner son ordre, en déduire le degré du polynôme minimal sur $F_p$. Cette question avait pour but de me faire dire que, lorsque l'existence de $F_q$ était établie, le résultat du développement, i.e. l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur $F_p$, devenait quasiment immédiat.
Ensuite, un deuxième exo qui me demandait de décomposer $X^8+X$ en irréductibles sur $F_4$.
Puis, un exo sur le morphisme de Frobenius F : déterminer noyaux et images des itérés $F^{°i}$, puis montrer que les itérés de F forment une base des automorphismes de corps de $F_q$, j'ai juste eu le temps de montrer que c'était une famille génératrice, puis il m'a dit que la liberté se montrait par argument de cardinalité.

Le niveau n'était pas bien difficile, mais le jury, sympathique, mettait un gros rythme dans son interrogation, ne me laissant souvent que peu de temps pour réfléchir. Je me suis sans doute parfois un peu précipité pour donner certaines réponses, ce qui m'a fait dire quelques bêtises.

Très surpris par le deuxième exo. Lorsque j'ai écris $F_4=\{0,1,\alpha,\alpha +1\}$, où $\alpha$ est racine de $X^2+X+1$, le jury m'a vite demandé si $\alpha$ était racine de $X^8+X$. Après quelques instants de réflexion, j'ai fini par dire que $\alpha^4=\alpha$ car $\alpha \in F_4$, et avant d'avoir le temps de poursuivre mon raisonnement, le jury m'a directement affirmé que $F_4$ était inclus dans $F_8$ puis a enchaîné sur la suite de l'exercice. Or je me suis aperçu, à tête reposée à l'issue de l'oral, que c'était complètement faux : durant tout l'exercice, le jury a fait comme si 8 était puissance de 4. Alors, soit le jury est particulièrement machiavélique en me donnant des résultats faux, mais comme il a enchaîné directement sans me laisser le temps de réfléchir à ce qu'il disait, et que les deux autres membres du jury n'avaient pas l'air au taquet sur l'exo, je pense plutôt que le jury n'a pas remarqué non plus son erreur.

Pas de réponse fournie.