Développement : Un problème de dénombremement sur les corps finis : Le problème de Kakeya

Détails/Enoncé :

Initialement, le problème de Kakeya consiste à retourner une aiguille de longueur 1 sur le plan $\mathbb{R}^2$. La question étant ”Quelle est l’aire minimal à couvrir pour retourner une aiguille”. Généralisant l'idée selon laquelle, lorsque que l’on retourne l’aiguille, on a nécessairement parcouru toutes les directions du plan, on se demande alors, étant donné un espace affine sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ de dimension $n$, combien de points doit-on prendre pour s’assurer d’avoir une droite contenant chacunedes directions de l’espace affine ? Un tel espace est appelé espace de Kakeya.

Plus formellement, on montre que pour tout $K$ espace de Kakeya :
$\begin{equation}
|K|\geq \frac{1}{n!}q^n
\end{equation}$

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• 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
• 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
• 148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
• 123 : Corps finis. Applications.

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :