Développement : Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse

Détails/Enoncé :

Ce développement et un grand paquet de goodies contenant :

- L'irréductibilité des polynômes cyclotomiques
- Si m est entier, alors (Progression arithmétique de Dirichlet, version faible ) il existe une infinité de p premiers congrus à 1 modulo m (l'intérêt est que ces deux résultats se prouvent de façon semblable)
- (Application) Tous les groupes abéliens finis sont des quotients d'un groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z^\times$.
- (bonus) les extensions cyclotomiques et leur groupe de galois
- (bonus) un bonus : tout groupe abélien fini est isomorphe au groupe de Galois d'une extension galoisienne de $\mathbb Q$

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je ne fais pas exactement la même chose que Wulfhartus mais comme il y a déjà tout plein de versions différentes de développements sur les polynômes cyclotomiques, j'ai préféré ne pas créer un énième doublon.

    J'ai décomposé ce développement en quatre modules : le premier présente les propriétés générales des polynômes cyclotomiques, le second fait l'irréductibilité sur Q et Z, le troisième l'applique à la démonstration de Dirichlet faible et le dernier traite la réductibilité des polynômes cyclotomiques à coefficients dans un corps fini, avec une application à $\Phi_8$ qui est irréductible sur Q et Z mais dont le projeté dans n'importe quel corps fini est réductible. Il est évidemment beaucoup trop long pour être traité en entier en 15 minutes : j'ai prévu pour ma part de choisir un module parmi 2, 3 et 4 selon la leçon sur laquelle je tombe, et d'y ajouter des propriétés tirées du premier module pour remplir les quinze minutes.

    Si vous y trouvez des coquilles, n'hésitez pas à me contacter !
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 56 versions au total)
Théorie de Galois : Cours et Exercices, Jean-Pierre Escofier (utilisée dans 3 versions au total)