Développement : Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre

Détails/Enoncé :

Un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont de module $\leq 1$ n'a que des racines qui sont racines de l'unité ! Corollaire : on peut plonger dans tous les sous-groupes finis de $GL_n(\mathbb Z)$ dans $GL_n(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ !

La preuve du lemme de Kronecker s'inspire de la vidéo de Philippe Caldero (auteur de CVA et NH2G2) sur sa chaîne YouTube : « Kronecker : la méthode à Toto ! ». Elle passe par les matrices compagnon et une utilisation surprenante de la diagonalisablilité. Le développement commence par quelques prérequis utilisant le lemme de Gauss.

Ce développement n'est pas vraiment un doublon car il a des recasages un peu différents de la preuve habituelle.
Le recasage dans Diagonalisabilité se justifie à deux endroits du développement. Le recasage dans Groupe Linéaire se justifie car $GL_n(\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb Q)$. Pour la leçon PGCD/PPCM : on regarde $P\wedge P'$, et on utilise quand même le lemme de Gauss (vous pouvez peut-être remplacer l'application au lemme de Serre par la preuve du lemme de Gauss sur le contenu, supposée admise dans ma version, afin d'encore mieux justifier le recasage). Pour la leçon Combinatoire : il y a un principe des tiroirs et le résultat final s'interprète comme une borne sur le cardinal.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Afficher les autres années   Recasages pour l'année 2024 :

• 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
• 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
• 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
• 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
• 152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
• 153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
• 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
• 104 : Groupes finis. Exemples et applications.
• 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
• 120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
• 150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
• 122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
• 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
• 123 : Corps finis. Applications.

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :