Leçon 123 : Corps finis. Applications.

(2015) 123
(2017) 123

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 123 - Corps finis. Applications.) Une construction des corps finis doit être connue et une bonne maîtrise des calculs dans les corps finis est indispensable. Les injections des divers $F_q$ doivent être connues et les applications des corps finis (y compris pour $F_q$ avec q non premier !) ne doivent pas être oubliées : citons par exemple l’étude de polynômes à coefficients entiers et de leur irréductibilité. Le calcul des degrés des extensions et le théorème de la base télescopique sont incontournables. L’étude des carrés dans un corps fini et la résolution d’équations de degré 2 sont envisageables. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en détaillant des codes correcteurs.

(2015 : 123 - Corps finis. Applications.) Il s'agit d'une leçon comportant un certain nombre d'attendus. En premier lieu, une construction des corps finis doit être connue. Ensuite, les constructions des corps de petit cardinal doivent avoir été pratiquées. Les injections des divers $F_q$ doivent être connues. Enfin, les applications des corps finis (y compris pour $F_q$ avec $q$ non premier !) ne doivent pas être oubliées : citons par exemple l'étude de polynômes à coefficients entiers et de leur irréductibilité. Il sera bon de comprendre l'utilisation des degrés des extensions, et leurs petites propriétés arithmétiques amenées par le théorème de la base téléscopique. Un candidat qui étudie les carrés dans un corps fini doit savoir aussi résoudre les équations de degré 2. Le théorème de l'élément primitif, s'il est énoncé, doit pouvoir être utilisé. Les applications sont nombreuses. S'ils sont bien maîtrisées, alors les codes correcteurs peuvent être mentionés.
(2014 : 123 - Corps finis. Applications.) Un candidat qui étudie les carrés dans un corps fini doit savoir aussi résoudre les équations de degré 2. Les constructions des corps de petit cardinal doivent avoir été pratiquées. Les injections des divers $F_q$ doivent être connues. Le théorème de Wedderburn ne doit pas constituer le seul développement de cette leçon. En revanche, les applications des corps finis (y compris pour $F_q$ avec $q$ non premier !) ne doivent pas être négligées. Citons par exemple l'étude de polynômes à coefficients entiers. Le théorème de l'élément primitif, s'il est énoncé, doit pouvoir être utilisé.

Plans/remarques :

2016 : Leçon 123 - Corps finis. Applications.


2015 : Leçon 123 - Corps finis. Applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 123 - Corps finis. Applications.

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Construction des corps finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Exercices qui étaient pour la plupart en lien avec le développement développé. Aucune question sur le plan. Pas de question pédagogique.

    Prendre un générateur de $F_q^*$ ($q=p^n$) et donner son ordre, en déduire le degré du polynôme minimal sur $F_p$. Cette question avait pour but de me faire dire que, lorsque l'existence de $F_q$ était établie, le résultat du développement, i.e. l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur $F_p$, devenait quasiment immédiat.
    Ensuite, un deuxième exo qui me demandait de décomposer $X^8+X$ en irréductibles sur $F_4$.
    Puis, un exo sur le morphisme de Frobenius F : déterminer noyaux et images des itérés $F^{°i}$, puis montrer que les itérés de F forment une base des automorphismes de corps de $F_q$, j'ai juste eu le temps de montrer que c'était une famille génératrice, puis il m'a dit que la liberté se montrait par argument de cardinalité.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le niveau n'était pas bien difficile, mais le jury, sympathique, mettait un gros rythme dans son interrogation, ne me laissant souvent que peu de temps pour réfléchir. Je me suis sans doute parfois un peu précipité pour donner certaines réponses, ce qui m'a fait dire quelques bêtises.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très surpris par le deuxième exo. Lorsque j'ai écris $F_4=\{0,1,\alpha,\alpha +1\}$, où $\alpha$ est racine de $X^2+X+1$, le jury m'a vite demandé si $\alpha$ était racine de $X^8+X$. Après quelques instants de réflexion, j'ai fini par dire que $\alpha^4=\alpha$ car $\alpha \in F_4$, et avant d'avoir le temps de poursuivre mon raisonnement, le jury m'a directement affirmé que $F_4$ était inclus dans $F_8$ puis a enchaîné sur la suite de l'exercice. Or je me suis aperçu, à tête reposée à l'issue de l'oral, que c'était complètement faux : durant tout l'exercice, le jury a fait comme si 8 était puissance de 4. Alors, soit le jury est particulièrement machiavélique en me donnant des résultats faux, mais comme il a enchaîné directement sans me laisser le temps de réfléchir à ce qu'il disait, et que les deux autres membres du jury n'avaient pas l'air au taquet sur l'exo, je pense plutôt que le jury n'a pas remarqué non plus son erreur.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.