Développement : Polynômes irréductibles sur Fq

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini de cardinal $q$ (puissance d'un nombre premier). Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, il existe un polynôme irréductible sur $\mathbb{F}_q$ de degré $n$. Le nombre de tels polynômes est équivalent à $\frac{q^n}{n}$ lorsque $n\to\infty$.

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    Le titre de la référence est "Exercices de mathématiques pour l'agrégation" et non "Exercices oraux x-ens".
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  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 123, 125, 141 et 144.

    J'ai pris comme référence le livre de M. Demazure, mais c'est assez lapidaire...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    On démontre un équivalent du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré fixé sur F_q. On a besoin de la formule d'inversion de Möbius que je démontre en toutes généralités dans un lemme préliminaire. On démontre au passage qu'il existe des polynômes unitaires irréductibles de tout degré sur F_q. Attention aux coquilles.
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    J'ai ajouté un lemme souvent négligé pour le faire rentrer dans la leçon sur les corps. Il faut vraiment travailler ce développement de son côté, je trouve qu'il y a pas mal de subtilités.
    Le corollaire est "de mon cru" dans le sens où je ne voulais pas utiliser la fonction de Mobiüs donc j'ai fait un peu autrement mais je n'ai pas de référence (même si je ne doute pas que quelqu'un d'autre ait fait comme ça dans son bouquin !).

    Je le prends pour les leçons 123, 141 et 144.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 190.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 25 versions au total)
Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 15 versions au total)
Cours d'algèbre , Demazure (utilisée dans 16 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 507 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 338 versions au total)