Théorème de Gauss (polygones constructibles)

On sépare l'étude par nombre premiers. Pour $\omega = e^{2i\pi/p}$ où $p$ est premier. On montre qu'il est constructible avec le théorème de Wantzel. Pour créer la tour d'extension quadratique on trouve un générateur du groupe des automorphismes de $Q(\omega)$.
le recasage c'est Mathieu D. bien sûr

Polynômes irréductibles sur Fq

Galois inverse

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

On montre également l'équivalent du cardinal quand $n$ tend vers $+\infty$.

Construction des corps finis

Dans cette version on montre l'existence et unicité d'un corps fini $\mathbb{F}_q$ à $q$ élément avec $q = p^n$ puis on montre que les sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont exactement (à isomorphisme près) les $\mathbb{F}_{p^d}$ avec $d \mid n$.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Dans cette version j'utilise la formule d'inversion de Moebius sans la démontrer.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Galois inverse

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Galois inverse

Développement risqué (peut-être même le développement le plus risqué parmi ceux que j'ai), parce qu'il faut connaître quelques bases de la théorie de Galois.
Il faut donc absolument savoir en expliquer les motivations, ce qu'est un groupe de Galois, à quoi il sert, quelques propriétés, etc... (je conseille le Berhuy, "Algèbre : le grand combat", pour regarder un peu tout ça).

Attention aux coquilles.

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

On ne montre qu'un sens du théorème : si le $n$-polygone est constructible alors $n$ est d'une certaine forme. Il faut savoir construire à la main pas mal de cas (racine carré d'un nombre, symétrique d'un point par rapport à un autre etc.).

Je le prends pour les leçons 102, 125, 127, 144 et 191.

On trouvera les différentes preuves dans le chapitre sur les nombres constructibles de la référence.

L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

Une idée de développement très sympa trouvée par Matoumatheux, dans laquelle on introduit la norme d'un élément algébrique, suivie de deux applications, une pour caractériser les carrés dans un corps fini (pas juste Fp) et l'autre pour caractériser les entiers d'un corps de nombres (en choisir une seule selon la leçon). J'ai essayé de développer des arguments un peu différents de Matoumatheux pour donner d'autres idées, mais dans l'ensemble c'est la même preuve. J'ai aussi ajouté deux annexes pour démontrer des lemmes que j'utilise et qui peuvent être un peu tricky à prouver.
Attention, pas de ref pour les applications !

N'hésitez pas à me contacter en cas de coquilles !

Extensions de corps. Exemples et applications.

Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Extensions de corps. Exemples et applications

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).