Référence : Corps commutatifs et théorie de Galois

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
On sépare l'étude par nombre premiers. Pour $\omega = e^{2i\pi/p}$ où $p$ est premier. On montre qu'il est constructible avec le théorème de Wantzel. Pour créer la tour d'extension quadratique on trouve un générateur du groupe des automorphismes de $Q(\omega)$.
le recasage c'est Mathieu D. bien sûr
Références :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- thm_gauss_tom.pdf

Développement :
Construction des corps finis
Remarque :
Dans cette version on montre l'existence et unicité d'un corps fini $\mathbb{F}_q$ à $q$ élément avec $q = p^n$ puis on montre que les sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont exactement (à isomorphisme près) les $\mathbb{F}_{p^d}$ avec $d \mid n$.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
- Cours d'algèbre , Perrin

Développement :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Remarque :
Dans cette version j'utilise la formule d'inversion de Moebius sans la démontrer.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Exercices mathématiques , Francinou, Gianella
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
Fichier :
- PM4TAgreg_Nb_Polynômes.pdf

Développement :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Référence :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
Fichier :
- Irréd corps fini.pdf

Développement :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Référence :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
Fichier :
- Polynômes irréductibles sur F_q.pdf

Développement :
Galois inverse
Remarque :
Développement risqué (peut-être même le développement le plus risqué parmi ceux que j'ai), parce qu'il faut connaître quelques bases de la théorie de Galois.
Il faut donc absolument savoir en expliquer les motivations, ce qu'est un groupe de Galois, à quoi il sert, quelques propriétés, etc... (je conseille le Berhuy, "Algèbre : le grand combat", pour regarder un peu tout ça).

Attention aux coquilles.
Référence :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
Fichier :
- Galois inverse.pdf

Leçon :
Extensions de corps. Exemples et applications.
Remarque :
Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.
Références :
Fichier :
- 125_perso.pdf

Corps commutatifs et théorie de Galois