Leçon 125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

(2015) 125
(2017) 125

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Le théorème de la base télescopique et ses applications à l’irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis sont incontournables. De même il faut savoir calculer le polynôme minimal d'un élément algébrique dans des cas simples, notamment pour quelques racines de l’unité. La leçon peut être illustrée par des exemples d’extensions quadratiques et leurs applications en arithmétique, ainsi que par des extensions cyclotomiques. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois.

(2015 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Très peu de candidats ont choisi cette leçon. On doit y voir le théorème de la base téléscopique et ses applications à l'irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis. Une version dégradée de la théorie de Galois (qui n'est pas au programme) est très naturelle dans cette leçon.
(2014 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Très peu de candidats ont choisi cette leçon. On doit y voir le théorème de la base téléscopique et ses applications à l'irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis. Une version dégradée de la théorie de Galois (qui n'est pas au programme) est très naturelle dans cette leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2016 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.


2015 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur le développement : préciser pourquoi vous prenait un corps de rupture de $Y^2-xY+1$ (pour ceux qui connaissent le développement), c'était juste pour vérifier si j’avais compris ce que je faisais. Pourquoi Res(P ,Q) mod p = Res (P mod p, Q mod p), j’ai dit que c’était parce que je résultant passait aux morphismes mais pourquoi je ne savais pas exactement.
    Le boss me dit : - C’est quoi un résultant ?
    - Un déterminant, et le déterminant mod p c’est le déterminant des coeff mod p.
    Le boss : ok ça me va (même si l’autre juré souhaitait un peu plus de détails je crois)

    Questions sur le plan :
    - Pourquoi $X^3+X+1$ est irréductible sur Q(i) ?
    - Le polynôme est irréductible sur Q car pas de racine (s’il a une racine, on vérifie les hypothèse de divisibilité comme d’hab), puis on dessine la tour d’extension et comme P est de degré 3 et Q(i)/Q de degré 2 c’est bon (en détaillant un peu plus).

    - Connaissez-vous un générateur de Q($\sqrt 2, \sqrt 3$) ?
    - Oui $\sqrt 2 + \sqrt 3$ et je dois donner la preuve.

    - Pouvez-vous montrer qu’il existe un polynôme irréductible de tout degré dans Fq ?
    - Elément primitif car Fq* est cyclique puis le polynôme minimal d’un générateur convient.

    - Montrer que $X^4+1$ est réductible sur tout Fp
    Ça je m’en souvenais plus alors que c’était écrit dans le Perrin, que j’avais utilisé pour quasiment tout le plan, je m’en suis voulu. J’ai un peu galéré, j’ai essayé pour p=2, c’est Frobenius, puis pour p>2 il fallait juste trouver un racine dans Fp² donc un élément d’ordre 8 dans Fp²* qui existe car c’est un groupe cyclique d’ordre (p+1)(p-1), qui est divisible par 8.
    - Et comme $X^4+1=(X^2+1)-2X^2$ ça vous dit quoi au niveau de la réciprocité quadratique ?
    - 2 est un carré (je l’avais relu le matin quand j’avais revu mon développement)

    Le boss reprend la main et ne la relâche plus :
    - On revient à Q($\sqrt 2, \sqrt 3$)/Q, pouvez-vous me donner tous les générateurs ?
    - Euh… j’ai écrit un élément $a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6$. Bon $a$ n’engendre pas grand-chose et on ne peut pas avoir deux des coefficients parmi $b,c,d$ qui sont nuls.
    Le boss : oui donc par exemple $b \sqrt 2 + c \sqrt 3$
    J’ai dessiné la tour d’extensions, dit qu’il faudrait montrer que son polynôme minimal est de degré 4.
    Le boss me parle de groupe de Galois, je baragaouine quelques trucs que je savais dessus et ça lui convient.

    Le boss demande si ses collègues ont d’autres questions.
    Un juré : Une dernière question, comment vous montrer que 1/x est constructible, si x l’est ?
    - Alors c’est le théorème de Thalès, je fais un dessin, mais pas le bon (j’ai dessiné le droite reliant 1 à 1 et x à x ce qui n’est pas top…). Je leur dit que ça ne va pas trop ça. Les types sourient, le boss fait une petite blague (« oui ça c’est juste une règle de 3 »). Ils me disent que c’était pas la bonne droite à considérer. Ah oui il faut juste relier 1 à x, et voilà.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    3 types, un boss et deux autres. Le boss menait la plupart du temps la discussion mais les autres étaient aussi actifs (contrairement aux autres oraux). Jury dynamique et sympa (l’oral s’est bien déroulé, ça doit aider).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais qu'on me titillerait plus sur la réciprocité quadratique et le résultant mais en fait non (tant mieux).
    En fait on a presque plus parlé de polynômes irréductibles que d'extensions de corps (bon ok c'est très lié). A part la dernière question, rien sur les nombres constructibles.

    C'était mon dernier oral et j'avais été juste niveau temps lors du premier, donc là j'ai essayé d'être efficace pendant la préparation pour pouvoir relire mes développements.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Galois inverse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question assez faciles. Le jury était assez sympathique (Il y avait Caldero dedans).

    Prouver qu'un extension finie de Q ne contient qu' un nombre fini de racines de l'unité

    Prouver X^2 +X +1 est irréductible dans F_2, puis F_32

    Irréductibilité des poly cyclotomiques sur F_p

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Relativement bien, même si je me suis un peu embrouillé sur le ien entre irréductibilité dans Q[X] et dans Z[X].

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :