Développement : Critère d'Eisenstein + Contre-exemple au théorème de l'élément primitif

Détails/Enoncé :

Critère d'Eisenstein :
Soit A un anneau factoriel,
P = a0 + a1 X + ... + aN X^N ∈ A[X] et p ∈ A premier.
Si p ne divise pas aN, p divise aK pour K inférieur à N-1, et p^2 ne divise pas a0, alors P est irréductible dans Frac(A)[X]

Contre-exemple :
Soit k un corps de caractéristique p > 0, on pose K = k(U,T) et K0 = k(U^p, T^p), alors K n'est pas une extension monogène de K0.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 393 versions au total)
Exercices d'algèbre , Ortiz (utilisée dans 9 versions au total)