Développement : Théorème des nombres premiers (version faible via la formule de Stirling)

Détails/Enoncé :

Utilisation du théorème de Stirling pour démontrer une version faible du théorème des nombres premiers : $\pi(n) = \Theta(n \ln(n))$ où $\pi(n)$ désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$.

Recasages pour l'année 2026 :

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  • Remarque :
    Je prouve de manière détaillée dans cette version l'existence de suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_n\le \pi(n)\le b_n$, avec $a_n\sim \ln(2)\frac{n}{\ln(n)}$ et $b_n\sim 4\ln(2)\frac{n}{\ln(n)}$, en admettant l'équivalent de Wallis et la formule de Legendre. Pour les recasages : 121, 223, 224, 230 (pour la 230 il y a une petite douille, cf la dernière remarque dans ma version). Je n'ai pas trouvé de référence.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :