Théorème des nombres premiers (version faible via la formule de Stirling)

Je prouve de manière détaillée dans cette version l'existence de suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_n\le \pi(n)\le b_n$, avec $a_n\sim \ln(2)\frac{n}{\ln(n)}$ et $b_n\sim 4\ln(2)\frac{n}{\ln(n)}$, en admettant l'équivalent de Wallis et la formule de Legendre. Pour les recasages : 121, 223, 224, 230 (pour la 230 il y a une petite douille, cf la dernière remarque dans ma version). Je n'ai pas trouvé de référence.

Extensions de corps. Exemples et applications

Metaplan:
I - Généralités
1) Extension de corps
2) Eléments algébriques et transcendants
3) Morphismes de corps (DV1 : Lemme d'Artin)
II - Extensions particulières
1) Corps de rupture et de décomposition
2) Corps finis
3) Extension cyclotomique
III - Nombres constructibles à la règle et au compas
(DV2 : Gauss-Wantzel)

Plan préparé sans limite de temps

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Metaplan :
I - Racines d'un polynôme
1) Multiplicités
2) Polynômes scindés
II - Polynômes symétriques
III - Théorie des corps
1) Nombres algébriques
2) Adjonction de racines
3) Corps finis (DV1 : Chevalley-Warning + Erdös-Gizburg-Ziv)
IV - Localisation de racines
(DV2 : Composantes connexes des disques de Gerschgörin)

Plan préparé sans limite de temps

Transformation de Fourier. Applications.

Metaplan:
I - Transformation de Fourier
1) Dans $L^1(\mathbb R)$
2) Dans $\mathcal{S}(\mathbb R)$
3) Dans $L^2(\mathbb R)$
II - Applications
1) Equations différentielles (DV1 : Schrödinger)
2) Principes d'incertitude (DV2 : Principe d'incertitude suédois)
3) En probabilités

Je suis passé dessus à la fois en oral blanc et pas blanc.

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Metaplan :
I - Distance dans un espace euclidien
1) Définitions
2) Orthogonalité
3) Utilisation du déterminant
(DEV 1 : Construire un simplexe avec Cayley-Menger)
II - Isométries
1) Groupe orthogonal
2) Isométries affines
3) Générateurs et classifications
4)Isométries conservant une partie
III - Notion d'angle
1) Définition
2) Mesure d'un angle
(DEV 2 : Point de Fermat d'un triangle)
3) Similitudes

J'ai aussi utilisé comme référence Fresnel "Méthodes modernes en géométrie" qui n'est pas sur agreg-maths. A mon avis, c'est une des leçons les plus difficiles à préparer. Cette version a été faite sans limite de temps.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Metaplan :
I - Groupe symétrique
1) Généralités
2) Cycles, supports et orbites
3) Systèmes de générateurs
(DEV 1 : Automorphismes de $\mathfrak{S}_n$)
II - Groupe alterné
1) Le morphisme signature
(DEV 2 : Frobenius-Zolotarev)
2) Structure de $\mathfrak{S}_n$ et $\mathfrak{A}_n$
III - Applications
1) Polynômes symétriques

Plan réalisé en 3h

Nombres premiers. Applications.

Metaplan :
I - Nombres premiers
1) Arithmétique des entiers
2) Critères de primalité
3) Répartition des nombres premiers
(DEV 1 : Version faible du théorème des nombres premiers)
II - Applications
1) Théorie des groupes finis
(DEV 2 : Sous-groupe de Frattini d'un sous-groupe)
2) Arithmétique des polynômes
(DEV 3 : Version faible du théorème de progression arithmétique de Dirichlet)
(DEV 4 : Théorème de Gauss-Wantzel)
3) Corps finis
(DEV 5 : Chevalley-Warning et Erdös-Gizburg-Ziv)

Plan réalisé en 3h. Je déconseille d'indiquer plus de 2 développements le jour de l'agreg.

Exponentielle de matrices. Applications.

Metaplan :
I - Généralités
1) Définitions
2) Matrices nilpotentes et diagonalisables
II - Etude de la fonction exp
1) Régularité
2) Image
3) Restrictions remarquables
(DEV 1 : $\exp : \mathcal{S}_n(\mathbb R) \rightarrow \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb R)$ est un homéo)
III - Application : systèmes différentiels linéaires
(DEV 2 : Stabilité par linéarisation)

Plan réalisé en 4h pour un oral blanc.

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Metaplan :
I - Formes linéaires
1) Espace dual
(DEV 1 : Enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$
2) Hyperplans
II - Correspondances
1) Orthogonalité
2) Transposition
(DEV 2 : Jordan par la dualité)

Plan réalisé en 3h

Utilisation de la notion de compacité.

Metaplan :
I - Définition et caractérisation
1) Borel-Lebesgue
2) Bolzano-Weierstra$\beta$
3) Espaces vectoriels normés
II - Fonctions continues sur un compact
1) Continuité et compacité
2) Parties denses
3) Parties compactes
(DEV 1 : Cauchy-Peano-Arzelà)
III - Application
1) Equation différentielles
(DEV 2 : Hadamard-Lévy)

Plan réalisé en 3h

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Metaplan :
I - Résultats théoriques
1) Définitions et notations
2) Existence et unicité
3) Matrice fondamentale et wronskien
II - Résolution explicite
1) Equation scalaire d'ordre 1
2) Coefficients constants
III - Etude qualitative
1) Localisation des zéros
(DEV 1 : Zéros d'une EDL)
2) Comportement asymptotique
(DEV 2 : Stabilité par linéarisation)

Plan réalisé en 3h. Pour le 2e développement, je fais une preuve présente dans le Berthelin qui passe par la formule de Duhamel et le lemme de Grönwall.