Leçon 121 : Nombres premiers. Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Théorème de Sophie-Germain

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Questions sur le développement :
1) Pourquoi si des entiers sont premiers entre eux et leur produit est une puissance p-ième, chacun d'entre eux est une puissance p-ième ? Je donne la réponse en revenant à la décomposition en facteurs premiers. Question subsidiaire : est-ce que ça fonctionne dans d'autres types d'anneaux, et est-ce que vous avez des exemples d'utilisation ? J'ai dit que ça marchait dans tout anneau factoriel, et j'ai parlé de Fermat pour $n=3$ dans l'anneau des entiers d'Eisenstein.

2) Question sur l'identité $x^p+y^p=(x+y)\sum_{k=0}^{p-1}x^ky^{p-1-k}$. Pourquoi c'est vrai ? J'ai dit que c'était l'identité géométrique, ça n'a pas suffi. Puis j'ai dit qu'on pouvait développer le membre de droite et simplifier les sommes. Question suivante : pourquoi ça ne marche pas quand $p$ est pair ? Parce qu'à la fin on récupère une puissance de $-1$ qui n'est pas la bonne. Est-ce qu'on a une factorisation similaire quand $p$ est pair ? Non, il faut passer par les complexes, je donne l'exemple $p=2$ à l'oral.

3) Enfin sur l'équivalence entre $q\mid xyz$ et $q\mid x,y\text{ ou } z$. Quelle est l'hypothèse pour que ce soit vrai ? $q$ premier. Un contre exemple si $q$ n'est pas premier ? J'écris $4=2\cdot2\cdot1$.



Ensuite, des questions sur le plan et des exos en alternance. (Je ne me souviens pas de l'ordre exact)
1) Résoudre $x^2+y^2-7z^2=0$. Excellent, je sais faire. Je dis immédiatement que l'idée est celle d'une descente infinie, on prend une solution non-triviale et on veut construire une solution plus petite. Pour ça on montre que $7$ divise $x$ et $y$, en projetant l'équation modulo $7$, en supposant que par exemple $y$ est inversible et en remarquant que ça nous donne un carré congru à $-1$ modulo $7$, ce qui n'existe pas. Question : pourquoi $-1$ n'est pas un carré modulo $7$ ? Je renvoie à un critère présent dans mon plan, et dis que $7$ est congru à $3$ modulo $4$.

2) "Vous donnez dans votre plan la décomposition en facteurs premiers de $2026$ qui se décompose en deux facteurs premiers. Quels sont les groupes d'ordre $2026$ ?" Bon là je sais pas ce qui m'a pris mais j'ai dit qu'ils sont tous cycliques, j'ai écrit qu'avec le théorème de Cauchy on a un élément d'ordre $2$ et un élément d'ordre $1013$ ce qui conclut si le groupe est abélien. Ensuite j'ai demandé si je pouvais utiliser les théorèmes de Sylow, le jury a dit qu'on allait faire plus simple. Le jury m'a redemandé ce que je pensais que la réponse était, j'ai redit la bêtise. Puis ils m'ont demandé si je connaissais un groupe non-abélien d'ordre $2n$ pour tout entier $n$. J'ai fini par penser au groupe diédral, qui en effet est un autre exemple de groupe d'ordre $2026$. Une membre du jury chuchote à celui qui m'a posé du question qu'on déborde du programme, puis elle-même m'a demandé si j'avais une idée de comment montrer que ces deux groupes-là sont les seuls. J'ai dit le mot "dévissage" puis le mot "produit semi-direct" et ça l'a satisfaite. Mais en le disant je me suis rendu compte qu'on avait un groupe d'ordre $1013$ et donc d'indice $2$, qui est donc distingué, et en dévissant comme ça on peut écrire les produits semi-directs possibles. Donc je l'ai dit et elle était d'accord.

3) Puis j'ai eu des questions autour du théorème de Dirichlet qui était dans mon plan, le jury m'a demandé de traiter deux cas simples : les premiers de la forme $4n+3$ et $4n+1$. (le premier cas était un item de mon plan). Pour $4n+3$, on suppose qu'il y en a un nombre fini, on note $N$ leur produit (en excluant $3$) et on considère un facteur premier congru à $3$ modulo $4$ de $4N+3$. Pour $4n+1$ c'est un peu plus délicat, mais j'ai l'idée d'utiliser que $-1$ est un carré modulo $p$ ssi $p$ est congru à $1$ modulo $4$. Alors on suppose que ces nombres premiers sont en nombre fini, on note $N$ leur produit et j'ai considéré $N^2+1$. Le jury m'a fait remarquer que ce nombre est pair. En effet il faut plutôt considérer $4N^2+1$. Puis un facteur premier de ce nombre est forcément congru à $1$ modulo $4$ et distinct des autres donc on conclut.

4) "Vous écrivez dans votre plan que tout sous-groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. C'est en particulier le cas de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$. Qu'en est-il de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ ?" Je donne le critère et une idée de la preuve (utiliser une racine primitive modulo $p$ pour en construire une modulo $p^\alpha$, puis multiplier par $2$ ne change rien par théorème chinois. Pour l'autre sens, c'est aussi le théorème chinois puisqu'on écrit le groupe comme produit de deux groupes cycliques non triviaux). Un membre du jury me fait remarquer que j'ai oublié $4$ mais que ce n'est pas grave.

5) On a parlé des automorphismes de $\mathbb Z/p\mathbb Z$, je ne sais plus s'il y avait un contexte. Puis le jury me demande les automorphismes de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ en général, la réponse est la même. Ensuite on me demande les automorphismes de $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^2$, là je sèche complètement. Je dis qu'il y a les automorphismes qui agissent indépendamment dans les deux termes mais pas seulement. Le jury me dit qu'on peut voir les choses matriciellement, alors j'écris qu'on cherche les matrices inversibles de $M_2(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)$. Le jury me met en garde que ces matrices ne sont pas à coefficients dans un corps. Je dis que donc la condition n'est plus que le déterminant soit non-nul mais qu'il soit inversible, autrement dit premier à $p$. Puis il me dit qu'on va les dénombrer, alors là je sèche complètement à nouveau. Je voulais parler du cas $\alpha=1$ mais en fait le jury le fait lui-même, en me disant qu'ici c'était beaucoup plus difficile. J'essaie d'écrire le déterminant $ad-bc$ et de raisonner avec ça mais je ne vois pas vraiment quoi faire. En fait le jury me dit qu'on a une formule pour toutes les tailles de matrices donc que ce n'est pas ça qu'on va faire. Il me demande combien de choix on a pour la première colonne. La condition c'est que l'un des deux coefficients soit inversible, j'écris le nombre que ça fait ($p^{2\alpha}-p^{2\alpha-2}$). Puis il me demande combien de choix on a maintenant pour la deuxième colonne, qui doit donc "ne pas être colinéaire à la première sauf qu'ici c'est pas vraiment ça" (c'est à peu près ce qu'il a dit). À nouveau je n'ai simplement aucune idée. Le jury me dit qu'on va abandonner cette question parce que c'est vraiment difficile.

6) Quel est l'ensemble des nombres premiers qui peuvent diviser les nombres $1,11,111,1111,\ldots$ ? J'écris que ces nombres sont les nombres de la forme $1+10+100+\ldots=\frac{10^n-1}9$. Je commence par exclure $3$ qui est effectivement dans cet ensemble ($3\mid 111$). Ensuite j'écris $10^n\equiv1\mod p$, et écris (à tort bien sûr) qu'alors $p-1\mid n$. Mais je me rends compte peu après, et je le dis, que tous les nombres premiers vérifient ça pour un certain $n$ par petit Fermat. La jury me demande si ça marche pour $2$ alors je me rends compte qu'effectivement j'oublie $2$ et $5$ mais que pour les autres on a $\gcd(10,p)=1$ donc c'est OK. Puis la jury est revenue sur le $p-1\mid n$ que j'avais écrit, je dis qu'en effet j'ai fait une erreur et qu'on peut juste écrire $ord(10)\mid n$ ce qui ne dit pas grand-chose. Alors elle me demande de récapituler le raisonnement, quel est le lien entre ce que j'ai écrit ici et le raisonnement avec petit Fermat ? Je dis qu'il n'y en a aucun, que je cherchais à raisonner par analyse-synthèse mais que je me suis rendu compte pendant l'analyse qu'elle ne sert à rien alors j'ai fait autre chose. Puis je réexplique le raisonnement avec petit Fermat en écrivant un peu plus.

7) J'ai donné dans mon plan l'exemple de $\Phi_p$ pour Eisenstein, une membre du jury m'a demandé si on avait aussi l'irréducibilité dans $\mathbb Z[X]$ (je l'avais énoncée dans $\mathbb Q[X]$), la réponse est oui car le polynôme est unitaire donc primitif (je parlais de polynômes primitifs dans mon plan). Puis elle m'a interrogé sur les polynômes cyclotomiques : qu'est-ce qu'on a en général ? Ils sont aussi irréductibles, mais c'est plus difficile. Quel est leur degré ? $\varphi(n)$, l'indicatrice d'Euler. Est-ce qu'ils sont aussi à coefficients entiers ? Oui. Comment le démontrer ? Par récurrence avec une division euclidienne dans $\mathbb Z[X]$ qui se passe bien car tous les polynômes sont unitaires.

7) Résoudre $2^m-3^n=1$. Je commence par dire (je sais pas ce qui m'a pris) que j'aimerais bien appliquer le LTE mais que c'est un peu difficile comme résultat et le jury me dit qu'on va faire plus simple. Je commence par écrire deux reformulations : $2^m-1=3^n$ (1) et $3^n+1=2^m$ que je ne vois pas tout de suite comment appliquer. Puis je réduis modulo $3$. Le jury me fait remarquer qu'il faut traiter le cas $n=0$, ce que je fais, et ça nous donne $2^1-3^0=1$ comme première solution. Modulo $3$ donc, on obtient que $m$ est pair. J'avance un peu au pif parce que je ne suis pas sûr si ces petites avancées me permettront de conclure. Je reprends quand même (1) pour écrire qu'on a $2^{2m'}-1=3^n$ et on factorise le premier membre en $3\cdot\sum_{k=0}^{m'-1}2^{2k}$. Chaque membre de la somme est congru à $1$ modulo $3$. Si $n\ge 2$, ça force donc que $m'$ est un multiple de $3$, ce qui n'est pas si mal mais à nouveau je ne vois pas le bout du tunnel. Au passage je traite le cas $n=1$ qui nous donne une autre solution $2^2-3^1=1$. Et là l'illumination ! Puisqu'alors $6$ divise $m$ on peut écrire que $2^6-1\mid 2^m-1$, et $7\mid 63=2^6-1$ !!! J'étais trop heureux, alors j'ai conclu avec force et joie que $7\mid 3^n$ ce qui est absurde. Le jury prend un petit peu de temps à analyser ce que je viens de faire puis acquiesce. Il me dit qu'on pouvait simplement réduire modulo $8$ et me demande d'écrire ce que ça donne. En effet si $m\ge 3$ on a directement une absurdité parce que les puissances de $3$ sont $1$ et $3$ alternativement donc ne peuvent pas valoir $-1$. Donc oui c'est plus simple. Je commente en disant que ce genre d'équations diophantiennes c'est souvent une affaire de trouver le bon nombre modulo lequel réduire.

8) Dernière question : soit $G$ un groupe d'ordre $57$, trouver le nombre d'éléments d'ordre $3$. Je demande si je peux utiliser les théorèmes de Sylow (vu que tout à l'heure on a évité), la jury me dit "oui c'est dans votre plan". Alors je m'exécute, en disant que ça nous donnera les groupes d'ordre $3$ et donc les éléments d'ordre $3$. On a $n_3(G)=1$ ou $19$. Dans le premier cas, on en trouve deux, et que dans le deuxième cas les $3$-Sylow sont deux à deux d'intersection triviale, et on m'interrompt pour me dire que l'oral est fini et qu'on arrête là "par équité avec les autres candidats". J'ai quand même fini par dire qu'on en a $38$. Je me dis maintenant qu'on peut peut-être montrer que ce dernier cas est impossible et que c'était le but de l'exercice.

Jury sympathique, en tout cas avec moi. Il y avait un homme et deux femmes. Je pense que le monsieur aime bien les nombres premiers notamment parce qu'il connaît le LTE, c'est lui qui m'a posé l'exo très difficile au milieu. Je l'ai trouvé agréable mais je sais qu'il a été odieux avec l'une de mes camarades. Les trois membres du jury posaient des questions en alternance. L'une des deux dames m'a dit plusieurs fois qu'elle me posait une question "d'élève perdue", j'imagine pour m'inviter à présenter de façon plus claire et pédagogique comme à quelqu'un qui ne comprend pas le sujet

Sur la préparation, je me suis vite rendu compte que je voulais parler de beaucoup de choses alors je suis allé très vite et ai écrit très petit. Résultat, plan à 88 items et peu de temps pour les développements et la défense. Heureusement je connaissais bien les développements (je les avais révisés tous les deux pendant la dernière semaine) et la défense n'était pas trop dure à concevoir. J'ai quand même eu un peu de mal à trouver une accroche, j'ai choisi d'introduire avec Euclide et sa vision géométrique de la divisibilité parce que j'ai appris ça cette année en feuilletant les Éléments et ça m'a vraiment frappé.

J'ai été un peu étonné pendant la défense et le développement, à chaque fois ils m'ont laissé dépasser un petit peu sans me prévenir que la fin du temps approchait. (6:05 sur la défense et 15:15 sur le développement)

19.75

121 : Nombres premiers. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Théorème de Dirichlet faible

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Remarque: ceci est un retour sur la session 2024 non 2023, je sais pas lire désolé.

Le jury a choisi le théorème de Dirichlet faible (ma version est celle du FGN), le développement s'est déroulé sans problèmes.
Pour les questions sur le développement :
- le jury m'a demandé de repréciser pourquoi, lorsque l'on montre que l'ordre de $a$ est exactement $n$, si $p$ ne divise pas $\Phi_{d'}(a)$ alors le produit sur les $d'$ divisant $d$ est également non nul modulo $p$. J'ai évoqué, comme c'est le cas dans la référence et dans les divers versions de ce développement sur ce site, le fait que $\mathbb{F}_p$ soit un corps (intégrité), cela n'a pas vraiment convaincu le jury mais comme visiblement je n'arrivais pas à donner l'argument qu'ils attendaient ils sont passés à autre chose (j'ai très certainement perdu des points là dessus car j'étais persuadé que cet argument fonctionnait mais le jury n'était pas d'accord peu importe ce que je leur disais...)
- ensuite ils m'ont demandé pourquoi on avait le droit de choisir $a$ de telle sorte que $\Phi_{d}(a)$ soit différent de $0$, $1$ ou $-1$ (nombre fini de racines).
On est ensuite passé aux questions sur le plan et exercices.

Questions sur le plan :
- le jury m'a demandé de démontrer les résultats sur les polynômes cyclotomiques utilisés dans le développement que j'avais aussi mis dans le plan (la formule avec $X^n-1$ et le font qu'ils sont unitaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ par récurrence et division euclidienne, facile à faire)
- je parlais des tests de primalité dans mon plan et un des membres du jury m'a demandé si je connaissais un critère pour savoir où fallait-il s'arrêter pour connaître la primalité ou non d'un entier n, il s'agissait du résultat avec racine de n (voir Rombaldi par exemple). Évidemment je l'ai oublié et on a perdu 5 bonnes minutes pour que j'essaye de m'en rappeler alors que c'est un résultat très simple, j'ai dû perdre pas mal de points là dessus.
- je mentionnais également les carrés dans les corps finis (le paragraphe du Perrin copié-collé) et le jury m'a demandé de reprouver le cardinal des carrés non nuls de $\mathbb{F}_q$ (j'ai réussi à le faire) et l'oral s'est terminé sur ça.

Le jury était extrêmement bienveillant et donnait de l'aide alors que j'étais très nul sur deux questions.

Tout est très bien organisé, rien à signaler.

12

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162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Après le développement sur le théorème des 2 carrés (pour les nombres premiers), on me demande d'expliquer à l'oral comment en déduire le théorème général sur les entiers (qui était dans mon plan comme corollaire). J'arrive à expliquer dans les grandes lignes.

Ensuite j'ai eu quelques exercices d'arithmétique, quelques exercices sur les p-groupes (j'en parlais un peu dans mon plan), et quelques exercices sur le symbole de Legendre. J'ai à peu près tout réussi, parfois avec l'aide du jury.

Le jury tenait à poser des exercices uniquement en lien avec ce qui était dans mon plan. Il faut donc bien orienter le plan vers des choses que l'on aime (ce qui est possible sur cette leçon qui est très large), et que l'on maitrise ! Par exemple ma partie sur les p-groupes était assez courte et je n'énonçais que des résultats assez simples, mais j'ai quand même eu beaucoup d’exercices dessus, certains assez poussés. C'est vraiment important de maîtriser chaque notion dont on parle.

Le jury aidait beaucoup, il ne laissait jamais réfléchir plus d'une minute. Il y avait donc un échange permanent, ce qui était plutôt agréable et permettait d'avancer vite et de faire beaucoup d'exercices. Le jury était cependant très neutre.

RAS, tout était bien organisé.
J'ai fait un plan en 2h15, sans trop me presser, même si je n'avais pas du tout préparé cette leçon avant et que j'ai donc du prendre un peu de temps pour réfléchir à l'organisation du plan. Ensuite pendant 30 min j'ai refait sur feuille chacun de mes développements, 2 fois, et enfin sur le quart d'heure restant j'ai relu mon plan et corrigé quelques bricoles, et réfléchi un peu dans ma tête à ce que j'allais pouvoir dire pendant les 6 min de présentation.

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121 : Nombres premiers. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Théorème de Dirichlet faible

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

- Vous dites que Z[X] n'est pas euclidien, mais qu'on peut quand même faire une division euclidienne avec ce polynôme. Expliquer.
- A-t-on toujours unicité de cette "décomposition euclidienne" ?
- Vous avez précisé que vous pouvez appliquer cette égalité de polynômes car les "racines sont simples", expliquez. (un détail qui manquait de précision dans mon dev pour montrer que X^n-1 = produit des phi_d)
- Calculer phi_6 (utiliser la formule précédente et tripatouiller un peu pour trouver phi_6(X) = 1-X+X²
- Montrer que les triangulaires supérieures à diagonale unité forment un p-Sylow de GL_n(F_p) (c'était dans mon plan)
- Existe-t-il un corps à 10 éléments ?
- 17 est-t-il un carré modulo 41 ? (j'ai pris l'initiative de montrer que 41 était bien premier avant, puis avec la réciprocité quadratique, c'était tout bon)
- Posons p=41. Ecrivez F_41² comme quotient de F_41 par quelque chose (direct avec la question précédente: X²-17 est irréductible car 17 n'est pas un carré modulo 41)
- Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6 (poser n = 6 p_1 ... p_n + 5 si il y en a un nombre fini, et décomposer n en produit de nombres premiers, en remarquant que ces nombres premiers sont tous congrus à 1 modulo 6).
- La dernière était était bizarre, et j'avais absolument aucune idée. Il m'a demandé s'il y avait "beaucoup" de nombres premiers à 10 chiffres. L'oral s'est terminé là-dessus.

Très souriant et sympathique, en particulier celui du milieu qui semblait "diriger" la séance. Les deux autres étaient un peu plus muets et distants.

A part le fait que j'ai réalisé cet oral sur un tableau blanc (d'autant que les trois quarts de ces foutus feutres n'avaient plus d'encre), tout s'est bien passé.

15.75

121 : Nombres premiers. Applications.

107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

121 : Nombres premiers. Applications.

107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

J'ai fait des erreurs de notation dans mon développement et dans mon plan, notamment un problème de définition du symbole de Legendre ; on a passé un certain temps - 10/15 minutes je dirais - à remettre tout ça en ordre. POur ce qui est des questions, je me souviens de celles-ci :
- Expliquer rapidement la démonstration de la classification des formes quadratiques sur un corps fini
- 15 est-il un carré modulo 37 ? (et montrer que le symbole de Legendre est multiplicatif)
- Donner une application du théorème de Cauchy sur les groupes : je n'en avais pas, j'ai fais quelques remarques sur le résultat (notamment dit que c'était une réciproque partielle du théorème de Legendre) ; on m'a demandé d'expliquer pourquoi dans un groupe abélien fini le produit de 2 éléments dont les ordres sont premiers entre eux est un élément d'ordre le produit des ordres, avec un contre-exemple dans le cas non abélien
- A la fin : s'inspirer de la démonstration du théorème des 2 carrés pour trouver les nombres premiers irréductibles dans Z[sqrt(d)] ; après quelques remarques et indications, le temps était écoulé.

Jury globalement souriant, plutôt vers la fin qu'au début je dirais, mais jamais désagréable.

C'était le 1er jour de canicule, j'ai dû aller me mettre de l'eau sur le visage plusieurs fois pour ne pas avoir trop chaud ; il faut bien penser à boire et à manger pendant la préparation (on oublie facilement dans ces circonstances) pour éviter de se sentir faible devant le jury

17.75

121 : Nombres premiers. Applications.

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Niveau développement, le jury avait le choix entre : "Le critère d'Eisenstein et l'application à l'irréductibilité de $\Phi_p$" ou "Le théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)"...

J : Sur le développement, pourquoi $p$ divise les coefficient $q_i$ et $r_i$ ? Par exemple que se passerait-il si $p=8$ ?
R du candidat : En particulier comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ est un anneau principal donc factoriel et il y a alors l'unicité de la décomposition en irréductibles. Pour $p=8$, j'exhibe un contre-exemple simple, ce qui montre l'importance de $p$ nombre premier. (Le jury ne semble pas convaincu).

J : Rappeler pourquoi $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $k\in [1,p-1]$ ? (Par rapport à l'irréductibilité de $\Phi_p$ toujours dans l'application de mon développement).
R du candidat : J'écris l'égalité du coefficient binomial à sa forme fractionnaire et fait passer le dénominateur de l'autre côté afin d'appliquer le lemme de Gauss élémentaire sur la divisibilité. Ils voulaient plus de précision, j'ai donc utilisé le théorème de Wilson (c'était dans mon plan) en précisant qu'on peut le démontrer par Bézout, pour justifier totalement la divisibilité initiale. (Le jury dit ok).

J : Sur le plan pédagogique pourquoi avoir fait une sous-partie "nombres premiers entre eux" ?
R du candidat : Je trouve que le titre "nombres premiers" est pas suffisamment précis, donc je trouve que c'est plutôt légitime d'en parler un peu. D'ailleurs je l'ai aussi fait, car si on prend le cas de deux nombres premiers, ils sont forcément premiers entre eux, et cela permet d'obtenir d'autre propriétés intéressantes sur l'arithmétique des entiers telles que le lemme chinois avec les problèmes de congruences ou encore les équations diophantiennes de degré 1. (Le jury dit ok).

J : Comment savoir si un nombre est premier ?
R du candidat : Je précise dans mon plan, qu'en partie 4, j'ai parlé de trois tests importants de manière logique et progressive dont un probabiliste (Fermat, Euler et Solovay-Strassen) mais qu'il existe des tests plus basiques comme le crible d'Eratosthène ou encore celui de la méthode des diviseurs premiers jusqu'à la partie entière de la racine du nombre. Exemple sur 113 où j'en profite pour rappeler les règles de divisions par $2$, $3$ et $5$ et aussi comment la division euclidienne peut être utile. (Le jury dit ok).

J : D'ailleurs, pour une équation diophantienne de degré $1$, y a-t-il unicité du couple de solutions ?
R du candidat : Non d'après le théorème de Bézout, il existe une infinité de couple d'entiers qui vérifie par exemple l'équation $ax+by=1$. On essaye par exemple sur $a=5$ et $b=7$ où on trouve des solutions particulières à la main (petits nombres) et on applique la méthode habituelle pour avoir la forme générale des couples de solutions. Au lieu de $1$ on peut prendre $d$ entier tel que $pgcd(a,b)$ divise $d$. (Le jury dit ok).

J : Mais sinon y a-t-il des méthodes algorithmiques pour trouver de tels couples d'entiers ?
R du candidat : On peut commencer par utiliser l'algorithme une division euclidienne jusqu'au dernier reste non nul et on fait ce qu'on appelle une remontée de Bézout. Mais algorithmiquement c'est lourd. Sinon de manière plus efficace on peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide. (Le jury dit ok et ne semble pas en vouloir plus).

J : A quel autre domaine des mathématiques vous fait penser une équation de la sorte ?
R du candidat : On peut penser notamment au domaine de l'algèbre linéaire notamment avec le cas des systèmes affines (ici). On reprend l'exemple de $a=5$ et $b=7$ et ils me demandent le noyau "du système". On trouve bien une droite linéaire. (Le jury dit ok).

J : Ok, prenons l'équation $x^2+y^2=7z^2$. Quelles sont les solutions entières ?
R du candidat : Le premier réflexe que j'ai c'est de passer modulo $7$ et c'est la bonne idée. Ils me précisent que l'on fait l'hypothèse qu'un des deux est inversible modulo $7$. Donc j'arrive une contradiction avec une propriété sur les carrés modulo $p=7$ (le fameux critère $p\equiv 1 \pmod 4$). Et je précise aussi que puisque $7$ est un nombre premier, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps donc un des deux $x$ ou $y$ est nécessairement divisible par $7$. Ils me demandent ensuite s'il n'y a pas une solution qui marche directement et je précise en effet que la triviale convient. On l'élimine donc et pour conclure l'exercice, j'ai du mettre en place comme je le précise au jury la méthode de "descente infinie" afin de terminer et s'apercevoir que seul $(0,0,0)$ marche. (Le jury dit ok).

J : Expliquez RSA et sa sécurité ?
R du candidat : J'explique plus en détails l'énoncé du plan car c'était peut-être mal rédigé et du coup c'est plus clair dans leur tête. Ensuite, je précise par rapport à la sécurité de RSA, que si un attaquant souhaitait intercepté le message (sans clé privée bien sûr) il devrait extraire une racine $e$-ième modulo $p$. C'est un problème type "log discret" qui est généralement "difficile". (Le jury dit ok).

Ils étaient corrects et bienveillants. Ils m'ont donné des petites indications quand je mettais un peu de temps à répondre mais ils laissaient le temps de s'exprimer. Déçu qu'ils n'aient pas poser de questions sur la partie "théorie des anneaux" où les éléments premiers ne sont pas toujours ceux que l'on croit. Dommage car c'est une partie intéressante mais bon... Les trois jurys ont participé a la discussion. Au final, je pensais m'être débrouillé et avoir fait un oral correct (je pensais avoir au moins la moyenne par exemple) mais au vue de la note finale, on peut se fier à rien et encore moins à leur attitude (peut-être qu'ils n'ont pas accroché à mon approche de cette leçon, je ne sais pas). C'est la vie :'( ...

Il faut compter environ 2h40 pour composer (chercher les livres dans les malles ou dans son sac et faire attention au moment des photocopies). J'avais préparé sérieusement cette leçon pendant l'année en classe (de base j'étais allé plus loin, notamment dans les tests de primalités et les notions de factorisation de grands nombre ainsi que dans le domaine des racines modulo $p$) mais le jour-j, avec le stress, on en sait un peu moins que d'habitude et donc j'ai mis les résultats où j'étais sûr. Mais bon je ne sais pas si ça a changé grand chose au final. Donc je recommanderais, de bien s'entraîner au format 3h pendant l'année pour avoir aucune surprise...

Sinon les surveillants dans les salles et ceux qui mènent à "l'abattoir" sont sympathiques et disponibles !

4.25

121 : Nombres premiers. Applications.

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Théorème de Chevalley-Warning

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement.
Questions :
- pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur)
- trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier).
- si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
- quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

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121 : Nombres premiers. Applications.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$?
2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ?
4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

Aucune surprise.

15.75

121 : Nombres premiers. Applications.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Théorème de Dirichlet faible

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Quelques précisions sur le développement ont été demandées.
Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

121 : Nombres premiers. Applications.

103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

-Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois)
-Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ )
-Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) )
-Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.)
-Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\neq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.)
-Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS)
-Expliquer "méthode de Monte-Carlo" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond "Non", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond "Oui". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.)
-Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.)
-Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel )
-Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. )
-Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas)
-Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

Bienveillant dans le fond.
L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité.
Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

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