Développement : Formule de Ramanujan-Wilson

Détails/Enoncé :

On démontre la formule de Ramanujan-Wilson :
Soient $a,b \in\mathbb{C}$. Pour tout $s\in\mathbb{C}$ tel que $\Re(s)>\max(1,\Re(a)+1,\Re(b)+1,\Re(a+b)+1)$,

$$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{\sigma_{a}(n)\sigma_b(n)}{n^s}.$$

On utilise ensuite la formule pour montrer que la fonction $\zeta$ n'admet pas de zéros sur le demi-plan $\{\Re(s)\geqslant 1\}$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Tennenbaum (utilisée dans 4 versions au total)