Développement : Théorème de Cesàro par la formule du produit eulérien

Détails/Enoncé :

Soit $a, b$ deux variables aléatoires uniformes indépendantes sur $\{1, ..., n\}$, et $\pi_n = \mathbb{P}(a \wedge b = 1)$. Alors $\pi_n$ tend vers $\frac{6}{\pi^2}$ quand $n \to + \infty$.

Pour cela, on utilise la formule du produit eulérien montrée par la loi zêta, et le théorème des nombres premiers.

Recasages pour l'année 2026 :

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    De base, un développement pas très original qui utilise la loi zêta (et donc les probas) pour démontrer la formule du produit eulérien. Le corollaire incontournable est la divergence de la série des inverses des nombres premiers. Pour jouer la carte d'originalité, je le remplace par un corollaire sur la primalité relative dû à Cesàro, que beaucoup montrent à l'aide de la fonction de Möbius mais qui peut également se montrer en reprenant l'idée de la preuve précédente. Je m'inspire d'un pdf trouvé en ligne, corrigé grâce à l'aide des contributeurs de Stack Exchange. On utilise pour conclure que la proportion de nombres premiers $\pi(n)/n$ tend vers zéro, ce qui est un corollaire du TNP.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :