Non-isomorphisme entre PSL(4,F_2) et PSL(3,F_4)

Développement rigolo, qui possède un très bon recasage mais je n'ai pas voulu abuser trop non plus alors je suis resté calme. Petit life goal perso : faire pouffer le jury quand on sort calmement : « (4^3 - 1)(4^3 - 4)(4^3 - 16)/9 = 20160 ». Malheureusement le jour J le jury a boudé ce dév en faveur de Chevalley-Warning, sélavy ! Point faible : il faut savoir montrer que les PSL_n(F_q) sont simples, il faut pour cela avoir fait des câlins au Perrin récurremment.

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Modulable, rentable, exigeant, il n'est pas aussi stratosphérique qu'il donnerait l'air (surtout si on lit la preuve sur Wikipédia, qui diffère nettement de celle proposée ici ; en particulier on ne parle pas d'algèbre de groupe). Le seul vrai point noir est qu'il faut vouloir parler de représentations, mais le jury a l'air de bien aimer. Le développement est transversal, car les propriétés d'intégralité sont au cœur de la preuve ce qui motive sans problème les recasages dans les leçons d'anneaux. Le mot résoluble ne doit pas faire peur puisqu'en fait on n'utilise pas du tout cette propriété dans le développement, uniquement le fait que c'est une propriété de dévissage !

Accélération de la convergence des méthodes itératives par la méthode de Tchebychev

Clairement pas mon développement star au départ, choisi puisqu'à l'intersection de Systèmes linéaires et Suites récurrentes. J'ai appris à l'aimer parce que son adhérence n'a rien de compliqué et que son principe est en fait résumable en une ligne : si vous remplacez la suite des points d'une méthode itérative par une combinaison linéaire des premiers termes dont les coefficients sont donnés par les polynômes de Tchebychev, vous convergerez plus vite.

Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)

Pas facile, mais l'essayer, c'est l'adopter. C'est d'abord un moyen de réviser toute l'analyse complexe (cherchez un résultat non utilisé. Même les équations de Cauchy-Riemann sont cachées à un petit endroit). Il faut connaître le théorème de Montel pour ce développement. L'atout de Riemann est qu'il se recase dans Connexité (et également tous les recasages du théorème de Montel), ainsi que dans Extrema. Si enfin vous avez un petit bagage sur les surfaces de Riemann, n'hésitez plus c'est les soldes. (NB : c'est bien le théorème de représentation conforme et non le théorème d'uniformisation contrairement à ce que suggère le titre de l'entrée sur le site)

La courbe brachistochrone

Il fallait choisir une équation différentielle non linéaire pour intégrer le couplage, et le problème de la courbe brachistochrone s'est imposé pour au moins cinq raisons : c'est un exemple, il se recase dans la leçon Extrema, il est original, il est bien documenté, et il a quand même une justification physique qui l'ancre dans n'importe quelle défense de plan. C'est donc un ticket gagnant pour un développement aux conclusions hautement géométriques (c'est une cycloïde). Un grand merci à Mathoumatheux et ses prédécesseurs pour avoir raffiné et poli ce joli dév de calcul des variations !!

Théorème de Von Neumann des sous-variétés

Personnellement je préfère parler de sous-groupes de GL_n dans les leçons de calcul diff plutôt qu'avoir à dériver seconde des itératrices de méthodes de gradient (mais c'est un goût tout personnel). Si l'on en croît le rapport le jury est amoureux des sous-variétés. Les questions sont hautement prévisibles ; prévoir par exemple de démontrer que l'algèbre de Lie est stable par crochet - la pollution en algèbre est essentiellement réduite à la 106 (où l'on peut le remplacer facilement par d'autres développements de mon couplage) et tout cela permet de dormir tranquille.

Théorème du point fixe de Brouwer

Amis de la topologie algébrique, c'est votre (unique) heure de gloire. Le théorème de Brouwer se recase à la fois dans les leçons de topologie générale et de géométrie différentielle, ce qui est un argument qui suffit en lui-même, et donc je vais m'arrêter là, car le reste n'est, de toute manière, que splendeur et émerveillement.