Non-isomorphisme entre PSL(4,F_2) et PSL(3,F_4)

Développement rigolo, qui possède un très bon recasage mais je n'ai pas voulu abuser trop non plus alors je suis resté calme. Petit life goal perso : faire pouffer le jury quand on sort calmement : « $(4^3 - 1)(4^3 - 4)(4^3 - 16)/9 = 20160$ ». Malheureusement le jour J le jury a boudé ce dév en faveur de Chevalley-Warning, sélavy ! Point faible : il faut savoir montrer que les $PSL_n(\mathbb{F}_q)$ sont simples, il faut pour cela avoir fait des câlins au Perrin récurremment.

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Modulable, rentable, exigeant, il n'est pas aussi stratosphérique qu'il donnerait l'air (surtout si on lit la preuve sur Wikipédia, qui diffère nettement de celle proposée ici ; en particulier on ne parle pas d'algèbre de groupe). Le seul vrai point noir est qu'il faut vouloir parler de représentations, mais le jury a l'air de bien aimer. Le développement est transversal, car les propriétés d'intégralité sont au cœur de la preuve ce qui motive sans problème les recasages dans les leçons d'anneaux. Le mot résoluble ne doit pas faire peur puisqu'en fait on n'utilise pas du tout cette propriété dans le développement, uniquement le fait que c'est une propriété de dévissage !

Accélération de la convergence des méthodes itératives par la méthode de Tchebychev

Clairement pas mon développement star au départ, choisi puisqu'à l'intersection de Systèmes linéaires et Suites récurrentes. J'ai appris à l'aimer parce que son adhérence n'a rien de compliqué et que son principe est en fait résumable en une ligne : si vous remplacez la suite des points d'une méthode itérative par une combinaison linéaire des premiers termes dont les coefficients sont donnés par les polynômes de Tchebychev, vous convergerez plus vite.

Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)

Pas facile, mais l'essayer, c'est l'adopter. C'est d'abord un moyen de réviser toute l'analyse complexe (cherchez un résultat non utilisé. Même les équations de Cauchy-Riemann sont cachées à un petit endroit). Il faut connaître le théorème de Montel pour ce développement. L'atout de Riemann est qu'il se recase dans Connexité (et également tous les recasages du théorème de Montel), ainsi que dans Extrema. Si enfin vous avez un petit bagage sur les surfaces de Riemann, n'hésitez plus c'est les soldes. (NB : c'est bien le théorème de représentation conforme et non le théorème d'uniformisation contrairement à ce que suggère le titre de l'entrée sur le site)

La courbe brachistochrone

Il fallait choisir une équation différentielle non linéaire pour intégrer le couplage, et le problème de la courbe brachistochrone s'est imposé pour au moins cinq raisons : c'est un exemple, il se recase dans la leçon Extrema, il est original, il est bien documenté, et il a quand même une justification physique qui l'ancre dans n'importe quelle défense de plan. C'est donc un ticket gagnant pour un développement aux conclusions hautement géométriques (c'est une cycloïde). Un grand merci à Mathoumatheux et ses prédécesseurs pour avoir raffiné et poli ce joli dév de calcul des variations !!

Théorème de Von Neumann des sous-variétés

Personnellement je préfère parler de sous-groupes de $GL_n$ dans les leçons de calcul diff plutôt qu'avoir à dériver seconde des itératrices de méthodes de gradient (mais c'est un goût tout personnel). Si l'on en croît le rapport le jury est amoureux des sous-variétés. Les questions sont hautement prévisibles ; prévoir par exemple de démontrer que l'algèbre de Lie est stable par crochet - la pollution en algèbre est essentiellement réduite à la 106 (où l'on peut le remplacer facilement par d'autres développements de mon couplage) et tout cela permet de dormir tranquille.

Théorème du point fixe de Brouwer

Amis de la topologie algébrique, c'est votre (unique) heure de gloire. Le théorème de Brouwer se recase à la fois dans les leçons de topologie générale et de géométrie différentielle, ce qui est un argument qui suffit en lui-même, et donc je vais m'arrêter là, car le reste n'est, de toute manière, que splendeur et émerveillement. Je suis tombé dessus le jour J et ils ont kiffé ;)

SO₃(R) et les quaternions

Bizarrement je n'ai aucun atome crochu ni avec les quaternions, ni avec les groupes hermitiens, mais c'était l'occasion de s'y accoutumer (ça sent un peu le thème d'écrit). Le nombre de recasages est infini et l'isomorphisme est vraiment utile, de la topologie (groupe fondamental de $SO(3))$ à l'informatique (représentation des rotations). Le travail de fond est quasi nul : faire un grand exo sur les quaternions et réviser la leçon sur les matrices unitaires, i. e. un bon petit dév sans surprise.

Théorème de Lie-Kolchin

On le sait bien, tout sous-groupe abélien de $GL_n(\mathbb{C})$ est cotrigonalisable, depuis le temps que le Gourdon nous terrorise avec ça. Mais qu'en est-il des sous-groupes résolubles, càd presque abéliens ? Il faut seulement rajouter une hypothèse de connexité pour que ça marche, et voici venu un magnifique théorème aux recasages analytico-algébriques. Cette fois il ne faut pas avoir peur des groupes résolubles. Le théorème est vraiment bonne ambiance, on utilise des raisonnements classiques sur les groupes topologiques. Le développement est un peu à tiroirs (et peu de versions justifient des passages pourtant techniques). À ce jour je n'ai aucun exemple concret d'application, et je suis preneur !

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

On montre le théorème de Gauss-Wantzel qui caractérise les polygones réguliers constructibles en admettant le théorème de Wantzel qui caractérise les nombres constructibles. Théorème phare de l'agreg, sinon des plus célèbre et qui mêle extensions de corps ténébreuses et mathàlamain type géométrie plane, que demande le peuple. Je ne sais pas mais le jury demande ça par contre, dans toutes les leçons dans lesquelles il a sa place de près ou de loin. En plus ça remplit les plans avec masse d'items sur la construction à la règle et au compas. À noter que notre énoncé est trivialisé par le théorème de Galois, toujours un bonus pour ceux qui aiment, mais alors il faut justifier de la pertinence de cette preuve pédestre.

Les idéaux premiers de K[X,Y]

Géomètres-algébristes, on détermine aujourd'hui le spectre premier de K[X, Y]. Développement qui marche très bien dans les leçons d'anneaux, y compris Anneaux principaux sans aucun problème (lisez la preuve, les gars). En combinant avec un résultat d'arithmétique on peut ainsi proposer un couplage « théorie des nombres ou algèbre commutative » au jury qui ne peut que faire bonne impression !

Théorème de Cesàro par la formule du produit eulérien

De base, un développement pas très original qui utilise la loi zêta (et donc les probas) pour démontrer la formule du produit eulérien. Le corollaire incontournable est la divergence de la série des inverses des nombres premiers. Pour jouer la carte d'originalité, je le remplace par un corollaire sur la primalité relative dû à Cesàro, que beaucoup montrent à l'aide de la fonction de Möbius mais qui peut également se montrer en reprenant l'idée de la preuve précédente. Je m'inspire d'un pdf trouvé en ligne, corrigé grâce à l'aide des contributeurs de Stack Exchange. On utilise pour conclure que la proportion de nombres premiers $\pi(n)/n$ tend vers zéro, ce qui est un corollaire du TNP.

Théorème de Müntz

Vous ne voulez pas montrer Weierstrass à l'agreg ? Faites-mieux : montrez le théorème de Müntz, à prix discount : $\mathrm{Vect}(x^{\alpha_n})$ est dense dans $\mathcal{C}^0([0, 1])$ si et seulement si $\sum\frac{1}{\alpha_n}$ diverge. Publicité mensongère : on utilise le théorème de Weierstrass. Le principal intérêt de ce développement gourdonesque est qu'il utilise deux déterminants classiques, à savoir Cauchy et Gram, vous m'avez bien entendu, ce qui permet de garnir la leçon déterminant, et ça, on ne dit pas non.

Théorème de Lindeberg

Si vous ne voulez pas démontrer le TCL par principe mais qu'il vous faut quelque chose qui se recase au moins trois fois dans la 260aine - et qui puisse faire assez peur au jury pour lui faire croire que vous vous y connaissez en probas, vous avez sonné à la bonne porte. Ce TCL « de Lindeberg », selon les mots de notre ami J. Badin : « optimise les hypothèses du théorème limite central selon l'idée de preuve classique avec les fonctions caractéristiques. On autorise ainsi des variables aléatoires non identiquement distribuées mais toujours indépendantes ». C'est un option A, alors vous pouvez l'écouter.

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Le théorème de Perron-Frobenius n'est jamais que de l'analyse matricielle, mais il n'a d'intérêt qu'en son interprétation dans le contexte des chaînes de Markov. Le recasage en probas est donc osé, même si l'on est pas option A ; en revanche il est très adapté à la 206 ou la 226. C'est aussi pour moi c'est aussi l'histoire d'une réconciliation avec les processus aléatoires, et c'est émouvant. Pendant markovien de Galton-Watson, qui lui embraye sur les martingales, c'est un « ancien classique » qui a l'avantage de n'être pas nommément frowned-upon comme son analogue dans le rapport du jury. L'adhérence - même au sein des chaînes de Markov - n'est pas violente et l'on peut également parler de l'algorithme PageRank de Google sans avoir vraiment de bagage probabiliste.
J'ai choisi de montrer le théorème dans le cas d'une matrice > 0 (et donc le corollaire en probas dans le cas ergodique). C'est déjà très chaud de tout loger en quinze minutes. N'étant pas un spécialiste je peux donc me permettre de faire une partie du plan sur les chaînes de Markov... sans parler de probas, mais uniquement des bases sur les matrices de transition, c'est-à-dire en éludant les notions de périodicité, récurrence et transience. Pour plus de détails je renvoie au plan que j'ai produit le jour J, il est sur mon site.

Espace de Bergman du disque unité

Le dernier de la bande à avoir intégré mon couplage. Je ne le recase que deux fois parce que je ne l'aime pas bien mais dans l'absolu les possibilités de recasage sont outrancières pour ce développement qui a été la grosse mode de 2023. Apparemment, les applications résident dans la théorie des réseaux de neurones, un dév d'actualité donc. Attention, il faut bien le maîtriser pour ne pas dépasser le temps imparti. On peut notamment réserver le noyau reproduisant aux questions. Pour le défendre enfin, rien de plus simple (si on a le tuyau) : la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes laisse entendre que les $z \mapsto z^n$ puissent être une base hilbertienne d'un certain espace ; on se place donc sur $L^2$ du disque, afin d'avoir des fonctions holomorphes qui soient exactement des séries entières.

Théorème de Frobenius-Zolotarev

Pont inattendu entre groupe symétrique et algèbre linéaire, cette relation permet de montrer la seconde loi complémentaire de la réciprocité quadratique, et même avec un peu plus de boulot la loi tout court (c'était l'objectif de Zolotarev !) de la façon la plus efficace que je connaisse. En particulier on apprend que les exposants dans la LRQ ont une interprétation combinatoire comme coefficients binomiaux. Pas mal, hein ? Et puis ce dév comble magnifiquement bien les trous (quand on n'a pas la simplicité de A_n ou la cyclicité de Z/nZ* en dév...). Certifié sans calculs, ce qui est une perle pour la 105. J'utilise la preuve originale de Zolotarev par factorisation du déterminant, qui est éminemment rapide, algébrique et intuitive.