Développement : Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Détails/Enoncé :

Il est question dans ce développement de montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est positive et irréductible alors :

1) $\rho(A) > 0$ et $\rho(A) \in \text{Sp}(A)$,
2) La valeur propre $\rho(A)$ est simple (i.e. elle est de multiplicité algébrique égale à 1),
3) L'espace propre $E_{\rho(A)}(A)$ est engendré par un vecteur propre strictement positif,
4) Si $A$ est strictement positive, alors $\rho(A)$ est l'unique valeur propre de module maximal.

À cela s'ajoute une application aux chaînes de Markov : Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov irréductible à valeurs dans un espace d'états fini $E$, de matrice associée $P$ alors

1) Il existe une unique probabilité invariante $\mu$ pour la dynamique issue de $P$, et cette mesure charge tous les éléments de $E$,
2) Si de plus la chaîne est apériodique, alors :
$$
P^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} \begin{pmatrix}
\mu \\
\vdots \\
\mu
\end{pmatrix}
$$
où on a représenté la mesure $\mu$ comme un vecteur ligne. En particulier, quelle que soit la loi de $X_0$, $(X_n)$ converge en loi vers la probabilité invariante $\mu$.

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