Méthode de la puissance itérée

Autour du rayon spectral

Theorème de Householder et conséquence sur le rayon spectral

Théorème de Perron Frobenius pour les matrices à coefficients strictement positifs

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

ATTENTION !! Ce développement est oméga trop long !! Je conseille de ne traîter que le cas strictement positif si vous voulez embrayer sur les chaînes de Markov ! Pour la leçon 153, faites comme vous le sentez : ou bien vous parlez des chaînes de Markov pour illustrer que vous pouvez approcher un vecteur propre associé à la valeur propre $1$ de $P^T$ en mode "méthode de la puissance", ou bien vous faites la totale sans parler de chaînes de Markov.

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Un développement pas si dur, que j'avais déjà croisé en deuxième année de prépa. Le fait qu'on puisse déduire la continuité des valeurs propres ainsi est selon moi très intéressant !

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Je me suis inspiré du document de Matoumatheux pour l'idée du développement mais je n'ai pas spécialement suivi sa preuve. En fait je pense que ça fait deux développements et non un. Pour la partie Perron Frobenius, je pense c'est un bon dev. En revanche pour la partie chaine de Markov, j'en suis pas si sûr. J'ai vraiment pas beaucoup de recul sur ce que l'on démontre et je sais pas si ça a un quelconque intérêt. Attention aux coquilles

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

La résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives n'est pas adaptée, puisqu'on est amené à résoudre AX = kX, qui n'est pas un système de Cramer.

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Cette leçon date ... je sais pas si je l'aurais faite comme ça le jour-J (j'aurais ajouté plus d'aspects de l'option B : descente de gradient, résolution approchée d'EDP, etc.)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Plan non détaillé fait à la fin de l'année. Scan trop clair désolé.

Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

El Amrani Calcul différentiel

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.