Méthode de la puissance itérée

Autour du rayon spectral

Theorème de Householder et conséquence sur le rayon spectral

Théorème de Perron Frobenius pour les matrices à coefficients strictement positifs

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

ATTENTION !! Ce développement est oméga trop long !! Je conseille de ne traîter que le cas strictement positif si vous voulez embrayer sur les chaînes de Markov ! Pour la leçon 153, faites comme vous le sentez : ou bien vous parlez des chaînes de Markov pour illustrer que vous pouvez approcher un vecteur propre associé à la valeur propre $1$ de $P^T$ en mode "méthode de la puissance", ou bien vous faites la totale sans parler de chaînes de Markov.

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Un développement pas si dur, que j'avais déjà croisé en deuxième année de prépa. Le fait qu'on puisse déduire la continuité des valeurs propres ainsi est selon moi très intéressant !

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Je me suis inspiré du document de Matoumatheux pour l'idée du développement mais je n'ai pas spécialement suivi sa preuve. En fait je pense que ça fait deux développements et non un. Pour la partie Perron Frobenius, je pense c'est un bon dev. En revanche pour la partie chaine de Markov, j'en suis pas si sûr. J'ai vraiment pas beaucoup de recul sur ce que l'on démontre et je sais pas si ça a un quelconque intérêt. Attention aux coquilles

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

- Théorème de Courant-Fischer sur le quotient de Rayleigh ;
- Inégalités de Weyl et conséquence sur la continuité des valeurs propres.

Leçons concernées : 153, 157, 158

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

La résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives n'est pas adaptée, puisqu'on est amené à résoudre AX = kX, qui n'est pas un système de Cramer.

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Cette leçon date ... je sais pas si je l'aurais faite comme ça le jour-J (j'aurais ajouté plus d'aspects de l'option B : descente de gradient, résolution approchée d'EDP, etc.)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Plan non détaillé fait à la fin de l'année. Scan trop clair désolé.

Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

El Amrani Calcul différentiel

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

J'ai eu beaucoup de difficultés à trouver des références pour cette leçon, c'est pour cela que certains résultats sont marqués d'un cœur au crayon, signifiant "par cœur".
Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené. J'ai appris beaucoup de choses que je ne savais pas concernant le pivot de Gauss en faisant cette leçon, notamment ses nombreuses applications (qui étaient passées à la trappe en première année à cause du confinement...)

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

J'ai préparé cette leçon comme un vrai oral et j'ai été interrogé par deux de mes camarades. Je voulais mettre les exercices de Carnet de voyage en Algébrie, mais j'ai un peu oublié... il y a tellement de choses à mettre dans cette leçon aussi... bref j'espère que ça vous sera utile !

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Un plan sur lequel je suis tombé pour mon troisième oral blanc. Ce plan est très dur, surtout la partie topologie faible ! Faire de la topologie faible dans des Hilbert est largement suffisant. Il y a également quelques coquilles dans mon plan (notamment sur le théorème de Kakutani qui est une équivalence, sans l'équivalence c'est juste le théorème de Banach-Alaoglu), et j'aurais peut-être dû mettre mon développement sur la courbe brachistochrone dans la partie optimisation en dimension infinie. En tous cas ce plan contient normalement tout ce qu'il faut, j'espère que ça vous sera utile.

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Cette leçon était une impasse à la base mais j'ai préparé un métaplan rapidement au cas où. Il est donc très basique et je parle pas de méthodes approchées parce que j'aime pas et que je suis pas en option B. Heureusement que je suis pas tombé dessus le jour J...

I) Généralités sur les éléments propres
1) Définitions et exemples
2) Liens avec la réduction
DEV 1: Critère de nilpotence par la trace
II) Localisation des valeurs propres dans le cas complexe
1) Disques de Gerschgöring
2) Rayon spectral
DEV 2: Homéomorphisme entre les matrices hermitiennes et hermitiennes définies positives

J'utilise le Rombaldi d'algèbre et d'analyse matricielle pour la majeure partie, un peu le Mansuy-Mneimné et Carnet de Voyage en Algébrie.

Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon préparée pendant l'année en binôme avec un camarade bien meilleur que moi, j'aurai pas mis la dernière partie acec le théorème de Cartan. Ayant fait l'impasse sur les équa diffs, j'aurai diminué cette partie si j'étais tombé dessus. Le dév 1 est légèrement différent que celui indiqué, voir ma page.

Je suis passé sur cette leçon en oral blanc. Voici quelques questions/exos:
- (sur le dév 1) Comment s'assurer que le polynôme interpolateur soit bien défini ?
- (sur le dév 1) Comment montrer que l'inverse d'un polynôme en A reste un polynôme en A ?
- (sur le dév 1) Comment montrer la surjectivité de l'exponentielle sur C à partir de votre 1er résultat ? (je donne la réponse sur ma page dans le dév)
- Est-ce qu'une matrice de déterminant négatif peut être un carré de matrice réelle ?
- Montrer que A et B commutent si exp(t(A+B))=exp(tA)exp(tB) pour tout t.

J'utilise Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour la majeure partie du plan et les Rombaldi.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Plan réalisé avec la collaboration d'Emma et relu par un professeur. Vous trouverez également ma défense de plan.

Exponentielle de matrices. Applications.

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et non vérifié par un professeur.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Plan réalisée par Lilian.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Plan réalisée par Thomas.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan a été vérifié par un professeur, mais gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon plutôt facile à faire, et qui a pourtant beaucoup de contenu et de directions possibles. Malheureusement pour beaucoup, c'est une leçon très dirigée option B. Une chose qui est cependant essentielle est de faire le line entre matrices symétriques et formes quadratique, et endomorphismes autoadjoints.

Mes devs : Min-Max de Courant-Fischer, Interprétation géométrique du déterminant