Développement : Autour du rayon spectral

Détails/Enoncé :

$\underline{Thm}$ (Browne-Hirsch) : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Alors pour toute norme matricielle $N$, induite ou non, $\rho(A) \le N(A)$ où $\rho(A)$ désigne le rayon spectral de $A$.

$\underline{Thm}$ (Householder) : Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, pour tout $\varepsilon >0$, il existe une norme matricielle induite par une norme vectorielle telle que $\Vert A \Vert_{\varepsilon} \le \rho(A) +\varepsilon$. On a de plus : $\rho(A)=\inf\{\Vert A \Vert_{\varepsilon}, \ \Vert . \Vert_{\varepsilon} \in \mathcal{N}\}$ où $\mathcal{N}$ désigne l'ensemble de toutes les normes matricielles induites par une norme vectorielle.

$\underline{Thm}$ (Gelfand) : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, alors pour toute norme matricielle $N$ (induite ou non) sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la limite de $(N(A^n))^{1/n}$ existe et vaut $\rho(A)$.

$\underline{Références}$ : $\textit{-Rombaldi, Analyse Matricielle.}$
$\textit{-Benhamadou/Jeribi, Analyse Numérique Matricielle.}$

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 16 versions au total)