Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[RDO] Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3 : Ramis, Deschamps, Odoux
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

J'ai forcé Lotka-Volterra pour m'enlever un développement, mais c'est tout de même un développement plutôt hors sujet...

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

J'ai trop de réf sur cette leçon. Je pense qu'on pourrais enlever le Ramis.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 229.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)

Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

J'ai mis beaucoup de temps à trouver un plan logique et bien construit pour cette leçon, cela a été fait en collaboration avec Tintin, et je pense qu'il est plutôt pas mal. On peut se dire que parler des fonctions circulaires avant l'exponentielle complexe n'est pas possible, mais en fait si, c'est d'ailleurs comme ça qu'on faisait en Sup, on montrait que cos et sin étaient dérivables en utilisant uniquement le cercle trigonométrique. Ceci soulève une remarque importante : selon l'ordre avec lequel on choisit de mettre les notions, il faut bien s'assurer qu'il n'y a pas d'incohérence, pas de "serpent qui se mord la queue", et qu'on sait à peu près tout démontrer dans cet ordre-là.
C'est pas mal de bosser la fonction Gamma en profondeur, de la définition jusqu'au tracé du graphe (qu'il faut savoir faire si on traite la fonction Gamma en DEV) en passant par son lien avec la fonction Beta (le plus rapide est de passer par la convolution).
Etudier la fonction zeta est aussi possible en DEV, la majorité des résultats se trouve dans le Gourdon, mais on peut approfondir avec le Zuily-Queffelec (même si personnellement je déconseillerais d'utiliser ce livre).
On peut étudier des fonctions encore plus sophistiquées, je pense à la fonction Digamma... On peut aussi s'intéresser au prolongement méromorphe de Gamma...
N'hésitez pas à tracer des graphes en annexe, j'aurais d'ailleurs dû ajouter celui de la fonction Gamma, les dessins sont toujours appréciés du jury.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Cette leçon est un quasi copier-coller de ma leçon 229, en remplaçant juste le I. En vrai, je pense que ça passe, il faut juste bien motiver tout ça dans les 6 minutes : comme je l'ai dit pour la 229, la convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation).
La partie convexité en analyse complexe est un peu bof... On peut la virer je pense, mais ça donne au moins une application en plus...
Je suis resté très basique car je trouve la convexité difficile, mais le rapport du jury propose plein de pistes d'approfondissement.
Pour Galton-Watson, il faut bien justifier en quoi la convexité intervient dans les démonstrations. J'ai pris ce développement dans le livre de Delmas, Modèles aléatoires, que je ne trouve pas sur le site.