Référence : Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- PM4TAgreg_Frobenius.pdf

Lemme des noyaux

Développement :
Lemme des noyaux
Remarque :
Dans cette version on montre le lemme des noyaux et on en donne deux applications (critère de diagonalisabilité, et le lemme montrant que les projections sont des polynômes), à choisir selon la leçon.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Algèbre , Gourdon
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
Fichier :
- PM4TAgreg_Lemme_noyaux.pdf

Critère de Klarès

Développement :
Critère de Klarès
Remarque :
Recasage: 154, 155, 157, et peut-être la 148

Mansuy/Mneimné p 153-154

Je me suis inspiré du document de Zlix, j'y ai apporté quelques précisions. Attention aux notations, et surtout à la différence fondamentale entre endomorphismes induits et restreint.

J'ai fait un joli $\LaTeX$, mais je laisse tout de même la v1 manuscrite qui contient plus de commentaires et quelques rappels de cours autour du développement. Les deux versions sont donc complémentaires (avec des commentaires mis à jours dans la v2).

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
Fichiers :
- Critère de Klarès.pdf
- Critère de Klarès __ v1.pdf

Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

Développement :
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
Fichier :
- Lemme de fitting et cardinal du cône nilpotent.pdf

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Leçon :
Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
Références :
Fichier :
- L 150.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
Fichier :
- L153.pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- L 154.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 151.pdf

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 154.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[GouAl] Algèbre : Gourdon
[Man] Algèbre linéaire réduction des endomorphismes : R. Mansuy
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
Références :
Fichier :
- 153 Polynômes d_endomorphisme en dimension finie. Réduction d_un endomorphisme en dimension finie. Applications..pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Man] Algèbre linéaire réduction des endomorphismes : R. Mansuy
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d_endomorphismes d_un espace vectoriel de dimension finie. Applications..pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Remarque :
Attention aux coquilles !!
Références :
Fichier :
- 157. endo trigo & nilpo.pdf

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Remarque :
L'introduction du déterminant via les formes multilinéaires alternées telle que je la présente (qui complète celle du Gourdon) est aussi pratique que simple.
Il est bon de faire le dessin de l'interprétation du déterminant en terme de volume.
Références :
Fichier :
- 152.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Leçon :
Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan un peu court.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- 154.pdf

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.

On peut étoffer la partie de topologie.
Références :
Fichier :
- 155.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon durant l'année. On peut parler de la différentielle de l'exponentielle si on veut
Références :
Fichier :
- 156.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année. Scan trop clair désolé.
Références :
Fichier :
- b0 149.pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Première leçon faite de l'année, elle est trop longue. J'enlèverais la partie trigonalisation et peut-être les résultats de topologie.
Références :
Fichier :
- b0 155.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Références :
Fichier :
- b0 157.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Références :
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
Fichier :
- 153.pdf

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Références :
Fichier :
- 155.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Références :
Fichier :
- 156.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Références :
Fichier :
- 157.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. La référence principale est le Berhuy.
Références :
Fichier :
- 103 _ conjugaison_dans un groupe.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
Références :
Fichier :
- 151_dimension_d'un_ev.pdf

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Utilisée dans les 6 développements suivants :

Utilisée dans les 12 leçons suivantes :

Utilisée dans les 8 versions de développements suivants :

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Réduction de Jordan (par la dualité)

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Lemme des noyaux

Critère de Klarès

Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

Utilisée dans les 31 versions de leçons suivantes :

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.