Utilisée dans les 14 versions de développements suivants :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
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Développement :
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Remarque :
Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Lemme des noyaux
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Développement :
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Remarque :
Dans cette version on montre le lemme des noyaux et on en donne deux applications (critère de diagonalisabilité, et le lemme montrant que les projections sont des polynômes), à choisir selon la leçon.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Critère de Klarès
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Développement :
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Remarque :
Recasage: 154, 155, 157, et peut-être la 148
Mansuy/Mneimné p 153-154
Je me suis inspiré du document de Zlix, j'y ai apporté quelques précisions. Attention aux notations, et surtout à la différence fondamentale entre endomorphismes induits et restreint.
J'ai fait un joli $\LaTeX$, mais je laisse tout de même la v1 manuscrite qui contient plus de commentaires et quelques rappels de cours autour du développement. Les deux versions sont donc complémentaires (avec des commentaires mis à jours dans la v2).
Mon site: https://esuong-maths.fr
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Référence :
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Fichiers :
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.
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Références :
Trigonalisation simultanée
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Développement :
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Remarque :
Je fais aussi la co-diagonalisation, à voir en fonction du temps et de la leçon présentée. On peut aussi rajouter une application si besoin.
Je fais les deux démonstrations dans le cas d'une famille quelconque d'endomorphismes.
Pour la co-trigonalisation, je ne le fais pas avec les formes linéaires.
Pour les leçons : 148, 151, 156.
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Références :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
Tout ce que j'ai écrit ne rentre pas en 15 minutes, à choisir en fonction de ses goûts.
Pour les leçons : 106, 152, 157, 158.
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Références :
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Fichier :
Théorème spectral
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 148, 150, 152, 153, 157, 158.
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Références :
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Fichier :
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 150, 152, 155.
Je ne faisais ce développement que pour la leçon sur l'exponentielle de matrice (pour les autres il y a de meilleurs devs je pense). La preuve que j'ai pris est dans le Mansuy et est vraiment différente des autres que j'ai trouvé sur agreg-maths, c'est pour cette raison que je la poste. Je la trouve beaucoup plus simple (après c'est vraiment subjectif).
Si on présente la leçon sur l'exponentielle de matrice, il faut de toute façon connaitre ce résultat et ses corollaires.
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Références :
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Fichier :
Utilisée dans les 68 versions de leçons suivantes :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Références :
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
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Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan un peu court.
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon n'est pas très facile... J'ai parlé des sous-groupes dérivés et groupes projectifs dans une petite sous-partie sur le conseil d'un prof mais je ne suis pas sûr que j'aurais laissé cette partie si j'étais tombé sur cette leçon le jour J...
C'est important de parler des générateurs, des actions (pivot de Gauss, Gauss-Jordan et éventuellement Frobenius si vous l'avez travaillé pendant l'année, Sylvester)
Je pense qu'il faut parler du groupe orthogonal mais bien rester dans l'aspect GROUPE (structure, générateurs...) et le présenter comme un sous-groupe de GL(E)
Il faut bien prendre la version du Rombaldi où se trouve le chapitre "Actions de groupes sur les espaces de matrices" !
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais fait ce plan qui a été validé. Le prof avait bien dit que c'était important de parler des endomorphismes cycliques, et qu'on pouvait aller jusqu'à Frobenius (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique au moyen de l'algorithme de Smith).
J'attire l'attention sur la REM19 : il faut savoir faire en pratique avec une matrice 3x3
Concernant Dunford, le prof m'avait dit que c'était un peu superflu dans cette leçon, même si c'est pas complètement impertinent... On peut choisir d'enlever ces quelques points et d'aller un peu plus loin sur les endo cycliques. Au passage, il est utile de bosser les endomorphismes cycliques car ils tombent souvent aux écrits.
On m'avait demandé en exo la dimension du commutant d'un endomorphisme diagonalisable. Réponse : c'est la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai parlé des endomorphismes cycliques parce que le rapport du jury disait que c'était possible, et parce que j'aimais bien ça, mais je pense que ce n'est pas du tout obligatoire. Par contre, ça vaut le coup de se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés car c'est un peu la "finalité" de la théorie. Les démos sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique.
Pardonnez mon dessin ultra moche en annexe, vous le trouverez dans le Beck.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon pendant l'année, elle a été validée par un professeur.
J'ai choisi de ne pas aller explorer des domaines trop compliqués (sauf la réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents car cela justifiait bien pourquoi j'avais choisi de parler de ces endomorphismes). Avec du recul, je n'aurais pas parlé des endomorphismes nilpotents : la leçon était trop longue et je voulais éviter les questions sur la réduction de Jordan qui est hors programme.
Je suis très content de l'ordre de mes parties. La présentation de 6 minutes de cette leçon est assez agréable, car tout s'enchaine bien. Pour justifier la partie sur les endomorphismes remarquables, il faut mettre en évidence les propriétés de ces endomorphismes qui concernent les SEV stables. Je pense d'ailleurs que certaines propriétés de mon plan peuvent être enlevées car ne concernent pas les sous-espaces stables.
Je conseille de faire les exercices du Mansuy, surtout ceux concernant la co-diagonalisabilité et la co-trigonalisabilité, car il y a des chances que le jury vous en pose un (c'est ce qu'il s'est passé durant un oral blanc).
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien cette leçon parce qu'il y a des choses à raconter. Pour le plan, il n'y a qu'à suivre le Mansuy-Mneimné. Le 2e dév est légèrement différent de celui indiqué, il est au propre sur ma page.
J'utilise le Mansuy-Mneimné (3e édition pour avoir le chapitre sur l'exponentielle de matrice) et le Rombaldi.
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Cette leçon était une impasse à la base mais j'ai préparé un métaplan rapidement au cas où. Il est donc très basique et je parle pas de méthodes approchées parce que j'aime pas et que je suis pas en option B. Heureusement que je suis pas tombé dessus le jour J...
I) Généralités sur les éléments propres
1) Définitions et exemples
2) Liens avec la réduction
DEV 1: Critère de nilpotence par la trace
II) Localisation des valeurs propres dans le cas complexe
1) Disques de Gerschgöring
2) Rayon spectral
DEV 2: Homéomorphisme entre les matrices hermitiennes et hermitiennes définies positives
J'utilise le Rombaldi d'algèbre et d'analyse matricielle pour la majeure partie, un peu le Mansuy-Mneimné et Carnet de Voyage en Algébrie.
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Références :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon préparée pendant l'année en binôme avec un camarade bien meilleur que moi, j'aurai pas mis la dernière partie acec le théorème de Cartan. Ayant fait l'impasse sur les équa diffs, j'aurai diminué cette partie si j'étais tombé dessus. Le dév 1 est légèrement différent que celui indiqué, voir ma page.
Je suis passé sur cette leçon en oral blanc. Voici quelques questions/exos:
- (sur le dév 1) Comment s'assurer que le polynôme interpolateur soit bien défini ?
- (sur le dév 1) Comment montrer que l'inverse d'un polynôme en A reste un polynôme en A ?
- (sur le dév 1) Comment montrer la surjectivité de l'exponentielle sur C à partir de votre 1er résultat ? (je donne la réponse sur ma page dans le dév)
- Est-ce qu'une matrice de déterminant négatif peut être un carré de matrice réelle ?
- Montrer que A et B commutent si exp(t(A+B))=exp(tA)exp(tB) pour tout t.
J'utilise Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour la majeure partie du plan et les Rombaldi.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
J'ai pas mis ce que je mettais dans chaque sous-partie parce s'est assez clair au vu du titre. Mon plan est assez basique. Je parle d'exponentielle de matrices parce que j'aime bien ça.
J'utilise le Gourdon en Rombaldi pour la majeure partie du plan et le Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour l'exponentielle de matrices.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
J'aimais bien cette leçon, d'autant plus que je n'avais qu'à suivre le Ulmer pour le début.
Je pense que l'on peut parler d'anneau factoriel dans cette leçon, j'ai préféré ne pas le faire par peur de certaines questions. On peut aussi parler de nombres algébriques et polynôme minimal associé.
Pour le développement sur le critère d'Eisenstein, je me plaçais dans un anneau principal (alors que factoriel suffit) et cela simplifiait donc la preuve.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples).
Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté).
Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix
-
Algèbre et probabilités, Gourdon
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 16.75).
Je trouve cette leçon agréable à faire car mis à part la première partie, on peut vraiment mettre ce que l'on veut dedans. J'étais content de parler à la fois d'extensions de corps et d'algèbre linéaire.
Pour chaque notion abordée dans le plan, il est important d'expliquer comment on la relie au titre de la leçon (par exemple, les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique et permettent d'obtenir des informations sur la diagonalisation ou trigonalisation).
Je pense que si l'on fait une partie sur les corps de rupture et de décomposition, ça sera valorisé d'expliquer leur utilité pendant la présentation de 6 minutes.
J'ai décidé de ne parler que des polynômes symétriques élémentaires et pas des polynômes symétriques (une professseure m'avait dit que ce n'était pas pénalisant), en revanche il faut s'attendre pendant la phase de questions à devoir donner l'expression d'un polynôme symétrique en fonction des élémentaires. Pour le développement sur le théorème de Kronecker, je n'utilise donc pas le théorème de structure des polynômes symétriques (j'utilise les matrices compagnons) mais ça n'a pas l'air de poser problème.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon assez élémentaire mais où il faut être au point sur l'ordre des propriétés annoncées. Par exemple le fait que toutes les bases ont même cardinal peut se prouver de plusieurs façons et n'est pas aussi simple que ça à démontrer. Pareil pour le fait que tout SEV d'un EV de dimension finie est aussi de dimension finie. C'est le genre de questions que le jury peut poser pendant la phase de discussion pour voir si vous maitrisez bien les bases.
Le Grifone et le Gourdon font bien le taff pour les deux premières parties.
Pour la partie applications, on peut faire de nombreux choix. Je pense d'ailleurs que deux applications suffisent, sinon il n'y aura pas assez de place.
Au départ mon deuxième développement devait être sur l'équivalence des normes et le théorème de Riesz, mais il était trop orienté "analyse" et ça se voyait que c'était un recasage (même si je pense qu'il peut se justifier, à faire confirmer par un professeur). J'avais donc choisi à la place celui sur la caractérisation des nombres algébriques et le corps des nombres algébriques.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Algèbre linéaire
, Grifone
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Analyse
, Gourdon
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L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Équations différentielles, Florent Berthelin
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je fais la construction du déterminant de façon classique en suivant le Gourdon (je suis un grand fan du Grifone mais je ne pense pas que sa construction du déterminant soit la meilleure).
Je pense que parler de polynôme caractéristique est incontournable, mais il faut absolument savoir pourquoi il existe bien car en général on définit le déterminant sur un corps (c'est expliqué dans le Beck-Malick-Peyré).
Pour le développement sur le critère de nilpotence par la trace, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde afin de bien justifier le recasage, quitte à aller plus vite sur certaines parties du dèv.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Le rapport du jury stipule qu'il faut bien insister sur les polynômes d'endomorphismes. D'ailleurs si vous faites le développement sur la décomposition de Dunford, il faut absolument faire la preuve où les endomorphismes $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ (cela vient du lemme des noyaux, dont la démonstration est limpide dans le Mansuy).
Mon développement sur le théorème spectral est peut être un peu court, il faudrait rajouter une application. Je pense que l'on peut trouver un meilleur dèv.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Le Mansuy peut (encore une fois) à lui seul faire toute la leçon.
La première partie peut sûrement être raccourcie, par exemple en ne rappelant pas les définitions de polynôme minimal et caractéristique, juste en écrivant les propriétés importantes.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui se fait rapidement, les premières parties se retrouvent dans de nombreuses leçons.
Concernant le calcul approché d'élements propres, je n'en parle pas car je n'étais vraiment pas à l'aise. Je pense que ce que j'ai mis dans ma troisième partie sur la recherche des valeurs propres est suffisant, ce sont des notions que j'ai découvert en préparant la leçon donc je n'ai pas de recul dessus.
Mon plan étant très théorique (et peut-être pas assez appliqué), je ne pense pas que j'aurais immédiatement choisi cette leçon le jour J.
Le développement sur le théorème spectral est justifié car on se sert des valeurs propres et des vecteurs propres.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'ai pas trouvé beaucoup de choses à dire sur cette leçon, heureusement qu'il y a les équations différentielles à mettre comme application.
Je n'avais pas d'idée pour mon deuxième développement, j'ai donc fait la surjectivité de l'exponentielle matricielle en utilisant la démonstration du Mansuy.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Plan classique, on peut raccourcir la première partie si l'on veut.
Je n'avais pas envie de parler de la suite des noyaux itérés et de la décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents (qui est hors programme), mais le rapport du jury insistait beaucoup dessus.
J'ai mis la décomposition de Dunford à part car c'est elle qui fait le lien entre endomorphismes trigonalisables et nilpotents.
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Au départ je pensais que cette leçon allait être bien, mais le fait de devoir à chaque fois mettre le cas réel et complexe est assez énervant.
Je pense que ma partie sur les formes quadratiques et hermitiennes est trop grande, mais le rapport du jury insistait dessus et je ne voyais pas d'autres applications.
Les parties sur le théorème spectral et les matrices symétriques positives sont un bon investissement, elles se recasent très bien dans d'autres leçons.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Références :
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158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Mon plan est extrêmement classique, je n'ai pas eu envie de parler d'endomorphismes normaux (les endomorphismes orthogonaux et symétriques suffisaient amplement pour remplir mon plan).
La sous-partie sur l'adjoint d'un endomorphisme se justifie car les exemples d'endomorphismes donnés vont se distinguer par les propriétés de leur adjoint.
Pour les endomorphismes orthogonaux, il aurait peut-être fallu parler de la classification en dimension 2 et 3, mais je n'étais pas à l'aise dessus.
Il faut parler des endomorphismes orthogonaux avant les symétriques, car notamment pour le théorème spectral et la décomposition polaire, on a besoin des matrices orthogonales.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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