Développement : Critère de Klarès

Détails/Enoncé :

Soit $k$ corps algébriquement clos, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie, et $u$ un endomorphisme de $E$, on définit $ad_u : L(E)\rightarrow L(E)$ par $ad_u(v)=uv-vu$.
Alors $u$ est diagonalisable si et seulement si $\ker ad_u =\ker ad^2_u$.

Référence : Mansuy et Mneimné

Pré-requis : Réduction des nilpotents (lemme des noyaux itérés)

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Page 155 du bouquin de Mansuy et Mneimné (3e), avec des petits résultats utilisés qui sont démontrés dans des chapitres antérieurs.

    Je suis passée sur ce dev pour la 148 et j'ai eu 16/20.

    EDIT: Le document d'EWna est mieux et génial (merci beaucoup à lui), je laisse le mien pour la postérité, la calligraphie et parcequ'il est plus représentatif de la longueur de ce qu'il faut écrire au tableau.

    Nécessite:
    Décomposition de Dunford
    Décomp. de Jordan (à ne mettre que dans le plan de la leçon 157 et pas dans la 155 à mon avis)
    La codiagonalisation de deux endomorphismes qui commutent
    Plusieurs petits résultats facile à savoir démontrer (notifiés en rouge)(je laisse en exercice aux lecteurs)
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasage: 154, 155, 157, et peut-être la 148

    Mansuy/Mneimné p 153-154

    Je me suis inspiré du document de Zlix, j'y ai apporté quelques précisions. Attention aux notations, et surtout à la différence fondamentale entre endomorphismes induits et restreint.

    J'ai fait un joli $\LaTeX$, mais je laisse tout de même la v1 manuscrite qui contient plus de commentaires et quelques rappels de cours autour du développement. Les deux versions sont donc complémentaires (avec des commentaires mis à jours dans la v2).

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichiers :