Développement : Critère de Klarès

Détails/Enoncé :

Soit $k$ corps algébriquement clos, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie, et $u$ un endomorphisme de $E$, on définit $ad_u : L(E)\rightarrow L(E)$ par $ad_u(v)=uv-vu$.
Alors $u$ est diagonalisable si et seulement si $\ker ad_u =\ker ad^2_u$.

Référence : Mansuy et Mneimné

Pré-requis : Réduction des nilpotents (lemme des noyaux itérés)

Recasages pour l'année 2023 :

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  • Auteur :
  • Remarque :
    Page 155 du bouquin de Mansuy et Mneimné (3e), avec des petits résultats utilisés qui sont démontrés dans des chapitres antérieurs.

    EDIT: Le document d'EWna est mieux et génial (merci beaucoup à lui), je laisse le mien pour la postérité, la calligraphie et parcequ'il est plus représentatif de la longueur de ce qu'il faut écrire au tableau.

    Nécessite:
    Décomposition de Dunford
    Décomp. de Jordan (à ne mettre que dans le plan de la leçon 157 et pas dans la 155 à mon avis)
    La codiagonalisation de deux endomorphismes qui commutent
    Plusieurs petits résultats facile à savoir démontrer (notifiés en rouge)(je laisse en exercice aux lecteurs)
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasage: 154, 155, 157, et peut-être la 148

    Mansuy/Mneimné p 153-154

    Je me suis inspiré du document de Zlix, j'y ai apporté quelques précisions. Attention aux notations, et surtout à la différence fondamentale entre endomorphismes induits et restreint.


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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