Leçon 151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

(2023) 154

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d'une matrice diagonalisable ou dans le cas d'une matrice nilpotente d'indice maximum. L'étude des endomorphismes cycliques et des endomorphismes semi-simples trouvent tout à fait leur place dans cette leçon. Dans le cas des corps R ou C, on pourra, si on le souhaite, caractériser ces derniers par la fermeture de leur orbite. Il ne faut pas oublier d'examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des propriétés des endomorphismes commutants entre eux. La réduction des endomorphismes normaux et l'exemple de résolutions d'équations matricielles peuvent être présentés en applications. La décomposition de Frobenius constitue également une application intéressante de cette leçon. Pour aller plus loin, on peut envisager de développer l'utilisation de sous-espaces stables en théorie des représentations.

(2022 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d'une matrice diagonalisable ou dans le cas d'une matrice nilpotente d'indice maximum. L'étude des endomorphismes cycliques et des endomorphismes semi-simples trouvent tout à fait leur place dans cette leçon. Dans le cas des corps R ou C, on pourra, si on le souhaite, caractériser ces derniers par la fermeture de leur orbite. La réduction des endomorphismes normaux et l'exemple de résolutions d'équations matricielles peuvent être présentés en applications. La décomposition de Frobenius constitue également une application intéressante de cette leçon. Il ne faut pas oublier d'examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutants entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2019 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d’une matrice diagonalisable ou dans le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. $\\$ L’étude des endomorphismes cycliques et des endomorphismes semi-simples trouvent tout à fait leur place dans cette leçon. Dans le cas des corps $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$, on pourra, si on le souhaite, caractériser ces derniers par la fermeture de leur orbite. $\\$ La réduction des endomorphismes normaux et l’exemple de résolutions d’équations matricielles peuvent être présentés en applications. $\\$ La décomposition de Frobenius constitue également une application intéressante de cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. $\\$ Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2017 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d’une matrice diagonalisable ou dans le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutants entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2016 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple le cas d’une matrice diagonalisable ou le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2015 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Les candidats doivent s'être interrogés sur les propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées de cas sont les bienvenues, par exemple le cas d'une matrice diagonalisable, le cas d'une matrice nilpotente d'indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans la leçon. Notons qu'il a été ajouté à l'intitulé la notion de familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2014 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Les candidats doivent s'être interrogés sur les propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées de cas sont les bienvenues. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans la leçon. Notons qu'il a été ajouté la notion de familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin ( fait en oral blanc donc pas celle-ci, mais c'est à peu près les même références que j'ai mis dans la leçon 153 ).
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2020 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2018 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2017 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2016 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2015 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

  • Développement choisi : (par le jury)

    Générateurs de O(E)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Précision sur l'autre développement : il s'agit d'une version où à chaque étape, la proportion est dans [a,A], segment strictement inclus dans [0,1] et non une proportion 1/2 comme dans le développement proposé sur ce site, il y a des matrices qui commutent et de la codiagonalisation.

    Beaucoup de questions sur le développement (cf. Perrin p.143 pour plus de détails, ou ce site):

    Q : Pouvez-vous définir une réflexion orthogonale?
    R : Je donne la définition à l'aide des matrices en fixant une base
    Q : Pouvez-vous le définir sans les matrices?
    R : Je le définis à l'aide de l'axe de renversement et de l'hyperplan.
    Q : Et pour les renversements?
    R : Je dis que c'est pareil mais on n'a plus une droite et un hyperplan mais des espaces de dimension 2 et n-2.
    Q : Pour parler de dimension d'un ensemble, que faut-il vérifier (je parle dans mon développement de l'ensemble des points fixes d'un élément de O(E) et j'utilise sa dimension)?
    R : Que ça soit un espace vectoriel.
    Q : Pourquoi est-ce évident qu'il s'agit d'un espace vectoriel? Fu = {x dans E tels que u(x) = x}, u dans O(E)
    R : Il est non vide et stable par C.L.
    Q : On peut le réécrire autrement cet ensemble?
    R : Ah oui... Comme le noyau d'un endomorphisme.
    Q : Et comment on l'appelle ce noyau?
    R : C'est l'espace propre de u pour la valeur 1.
    Q : On se donne une rotation dans $R^3$. Quels renversements l'engendrent?
    R : Je ne sais pas vraiment. Ma seule idée est de suivre l'algorithme de la preuve et de trouver les réflexions. Je suis donc le développement et trouve les dites réflexions.
    Q : Est-ce que la génération est minimale? En clair, peut-on engendrer un élément de O(E) en moins de codim(Fu) réflexions?
    R : Je ne pense pas, on peut peut-être trouver un contre-exemple.
    Q : Plusieurs membres du jury me posent des questions en même temps et veulent me faire prendre deux points de vue différents : théorique vs contre-exemple.
    R : Après un moment à être perdu, je finis par suivre la piste d'un des membres du jury qui veut que je démontre théoriquement que c'est minimal. Je me rends compte que ça a un lien avec les hyperplans des réflexions et leur intersection.
    Q : Et du coup, vous avez un contre-exemple?
    R : Petit temps de réflexion... Oui, une diagonale avec des -1 puis des 1.
    Q : Est-ce que la matrice de permutation de (1 2 ... n) est orthogonale?
    R : Oui, les colonnes forment une b.o.n.
    Q : Vous savez quelles réflexions l'engendrent?
    R : pas vraiment de réponses, toutes les questions précédentes étaient un peu mélangées donc on a fini par sauter celle-ci.
    Q : Que donne le produit de deux réflexions dans R^2?
    R : (après aide du jury et après avoir oublié ce qu'on me demandait à la base tellement j'ai eu de questions intermédiaires) une rotation.


    Sur le plan:

    Q : Démontrer que le polynome caractéristique de $u_{|F}$ (F stable par u) divise celui de u.
    R : Je dis que ça revient à ce dont je parlais dans ma présentation de plan et que matriciellement c'est évident.
    Q : Montrer que g et f commutent et sont diagonalisables implique qu'ils sont co-diagonalisables.
    R : Un peu laborieux mais j'y arrive.
    Q : Que peut-on dire du commutant de f diagonalisable?
    R : Je parle de stabilité des espaces propres mais je ne sais pas si c'est une CNS. Le membre du jury ayant posé la question m'aide et on trouve à l'oral que c'en est bien une.
    Q : Quelle est la dimension de ce commutant?
    R : La somme des carrés des dimensions des espaces propres.


    Le jury me dit que nous n'avons plus beaucoup de temps et nous passons à un exercice.

    Q : Soit u dans L(E) de polynôme caractéristique scindé à racines simples. Dénombrer les espaces stables de u. Il vous reste 30s (merci, c'est trop)
    R : J'ai juste le temps de dire qu'il y a au moins toutes les sommes directes d'espaces propres. Je n'ai pas eu le temps de les compter ( $2^n$ si je ne m'abuse).

    C'est fini, merci et bonne journée.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient assez neutre dans leur ton, ni sévères ni gentils. Ils avaient envie de poser beauuuuuuuucoup de questions, des petites questions parfois mais en plein milieu d'autres. Ce qui fait que j'ai au moins perdu le fil de ce que l'on faisait 2 fois lors de l'oral. J'imagine que ça leur permet aussi de tester les reflexes des candidats.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, l'oral s'est passé comme je m'y attendais. J'étais un peu déçu qu'ils ne choisissent pas le développement sur lequel j'avais apporté des ajouts personnels. Ils n'ont pas hésité sur le développement qu'ils voulaient voir. J'avais l'impression qu'ils avaient déjà beaucoup de questions prêtes sur O(E) et qu'ils ont juste vu qu'ils pourraient facilement poser des questions pendant la troisième partie de l'oral.

  • Note obtenue :

    12


2022 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions autour du développement notamment, des questions basiques mais qui ont su tous de même me déstabiliser. Ils ont finit par un exercice classique en me demandant les sous espaces stables d'un endomorphisme nilpotent dont l'indice de nilpotence était la dimension de l'espace.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un jury très bienveillant et aidant lorsque l'ont bloque. C'était très appréciable surtout lorsque l'on cède à la panique face à des questions simple ça aide à se remobiliser.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est déroulé comme prévu en terme d'organisation, pour ce qui est des questions un peu étonné que le jury ne s'intéresse pas vraiment aux plans sur ce coup ci.

  • Note obtenue :

    12


2018 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice
    \[\left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2
    \end{array}
    \right).\]
    Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ?

    Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Maschke

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.5