Développement : Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Détails/Enoncé :

Lemme: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.
Alors: il existe des sous-espaces vectoriels de $E$: $P_1;...;P_r$ de dimensions 1 ou 2, deux à deux orthogonaux, stables par $u$ tels que: $E = \bigoplus ^r_{j=1} P_j$.

Théorème: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.
Alors: il existe une base orthonormée $\mathcal{B}$ de $E$ telle que:

\[
\mathcal{Mat}_{\mathcal{B}}(u) =
\begin{bmatrix}
D_p & & &\\
& R_1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & R_r
\end{bmatrix}
\]
avec $D_p$ matrice diagonale, et pour tout $k\in[[1;r]],$
\[
R_k =
\begin{bmatrix}
a_k & -b_k\\
b_k & a_k
\end{bmatrix}
\]
tel que $b_k \neq 0$ et $p+2r = n$.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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  • Remarque :
    Recasages: 151, 154, 160
    Je mets aussi 151 pour l'illustration de la récurrence sur la dimension (il faut être prêt·e à défendre ce choix).

    Pages 743 à 745
    NB: deux coquilles dans le Rombaldi: une dans l'énoncé (c'est $b_k$ qui est non nul, pas $a_k$), et une dans la preuve du Lemme 22.13 ($\delta = (a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ et non $(a+d)^2 + 4b^2$ #copiercoller)


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)