Développement : Théorème du bicommutant et du commutant

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un $k$-espace vectoriel et $f\in \mathrm{End}(E)$. Alors on peut munir $E$ d'une structure de $k[X]$-module noté $E_f$. On a par le théorème des facteurs invariants $E_f \cong \bigoplus k[X]/(P_i)$ où $P_1 | P_2 | \ldots | P_l$. On remarque que le commutant de $f$ est $\mathrm{End}_{k[X]}(E_f)$. On en déduit alors que le bicommutant de $f$ est $k[f]$. En utilisant la biadditivité de $Hom$ on a de plus $\mathrm{End}_{k[X]}(E_f) \cong \bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}(k[X]/(P_i),k[X]/(P_j))$.
On montre que $\mathrm{Hom}(A/(a),A/(b)) \cong A/(\mathrm{pgcd}(a,b))$ dans tout anneau principal. On peut alors calculer $\dim_k \mathrm{End}_{k[X]}(E_f)$ et conclure que le commutant est égal à $k[f]$ si et seulement si $l=1$, i.e. $f$ est cyclique.

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