Développement : Calcul algébrique de la somme quadratique de Gauss

Détails/Enoncé :

On calcule, pour $n$ impair $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$)
On trouve : $$\tau_n = \left \{\begin{array}{cc}
\sqrt n & \text{ si } n \equiv 1 \pmod 4 \\
i \sqrt n & \text{ si } n \equiv 3 \pmod 4
\end{array} \right.$$
On effectue ce calcul en exprimant la somme comme la trace de l'opérateur de transformée de Fourier sur $\mathbf Z/n\mathbf Z$ ; on calcule cette trace en diagonalisant l'opérateur.

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  • Remarque :
    Développement n°1.3 à l'adresse : https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    La référence donne seulement des détails à propos du calcul du déterminant de l'opérateur, qui est l'étape la plus compliquée selon moi.