Théorème de Chevalley-Warning

je suis certain de l'avoir vu autre part : FGN ou Szpirglas

Théorème de Chevalley-Warning

Loi de réciprocité quadratique

Mis à jour le 26.04.17

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Mis à jour le 17.05.17

Théorème de Chevalley-Warning

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Base de Burnside

Base de Burnside

Théorème de Chevalley-Warning + EGZ

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

D'après moi pour les leçons : 156, 204, 214 et 215.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Des groupes bien mélangés par leurs automorphismes

page 9 à 12

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Développement consistant d'un seul théorème utilisant le théorème d'inversion locale.
Selon moi, se recase seulement pour les leçons : 156, 204, 214 et 215.

Résultats bonus:
1. Théorème des fonctions implicites
2. Théorème d'inversion locale

Développement n°9 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Théorème de Chevalley-Warning + EGZ

Très joli résultat avec une belle application. Pour celle-ci, a priori on n'a le temps que de traiter le cas des nombres premiers mais sachez justifier la généralisation.

Lemme de Grothendieck

Rudin, Analyse fonctionnelle pour le 3)
Théorème > Lemme

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Sous-groupe de Frattini d'un p-groupe

Développement 1.5 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
Attention à bien connaître des contre-exemples

Volume et déterminant de Cayley-Menger

problème 13 (pp.73-79)

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Théorème de Chevalley-Warning

Recasages : 120,123,144,121,126,190

Je suis tombée dessus à l'oral, le jury a bien aimé. La démo entière n'est pas faisable en 15mn, mais il faut être prêt.e à savoir très rapidement expliquer "avec les mains" la généralisation du théorème à n quelconque (par récurrence), j'ai un peu regretté de ne pas m'y être plus préparée parce qu'au final il me restait un peu de temps à la fin du dev.

Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/5e8351a9-8a78-464b-a8a0-499be1342432/Theoremes_de_Chevalley_Warning_et_dErdos-Ginsburg-Ziv.pdf?id=1315ddfe-ea66-435e-92a5-4db8a9d87f67&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=B9Wr_zaYvD-uRm5GytniEpQSoSs5WsZI8-F0Y23jI5E&downloadName=Théorèmes+de+Chevalley+Warning+et+d%27Erdös-Ginsburg-Ziv.pdf

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

La difficulté de ce développement est surtout de retenir les étapes, mais sinon il roule bien.
Attention, il faut savoir démontrer que $\mathbb{C}$ privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs.

Attention aux coquilles.

Image de l'exponentielle matricielle

Utiliser l'inversion locale et les techniques de groupes topologiques c'est plutôt stylé ! Et en plus ça rentre dans connexité, que demander de plus ?

Théorème de Morgenstern

Une application du théorème de Baire qui se recase dans la leçon sur les séries entières, ça fait le taf.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Développement sympa, pas très compliqué, mais qui nécessite un peu de travail quand même pour ne pas s'embrouiller.

Je le prends pour les leçons 150, 155, 204 et 214.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 53 (qui est la correction du problème 9 partie II page 49).

Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

Connexité. Exemples et applications.

Mis à jour le 25.05.17

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[GouAl] Algèbre : Gourdon
[Man] Algèbre linéaire réduction des endomorphismes : R. Mansuy
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Zad] Un max de maths : Zavidovique

Exponentielle de matrices. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Connexité. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Calcul Différentiel : El Amrani (pas référencé dans agregmaths)
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily

Connexité. Exemples et applications.

Connexité. Exemples et applications.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

El Amrani Calcul différentiel

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.