Développement : Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité

Détails/Enoncé :

On démontre que $SL_n(K)$ est engendré par les matrices de transvection et qu'un élément de $GL_n(K)$ peut s'écrire comme un produit de transvections et d'au plus une dilatation.

Application à la connexité de $SL_n(R)$ et $SL_n(C)$ et aux deux composantes connexes de $GL_n(R)$.

On montre également la connexité de $GL_n(C)$, mais sans passer par les transvections/dilatations.

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Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Version de F.A.

Auteur :
F.A.
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Fichier :
- Générateurs GL(E) - V1.pdf

Version de Mathis Lemay

Auteur :
Mathis Lemay
Remarque :
Ce développement mérite d'être bien travaillé, surtout pour justifier que "par hypothèse de récurrence, ça marche", chose que j'ai essayé de faire à la fin en noir. L'application à la connexité permet de recaser ce développement dans la 204.
On peut optimiser le début de la récurrence je pense.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité.pdf

Version de Alice M

Auteur :
Alice M
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
Fichier :
- Générateurs de GLn et SLn et connexité.pdf

Version de Limagne

Auteur :
Limagne
Fichier :
- Generations groupes linéaires.pdf

Version de Paviet

Auteur :
Paviet
Remarque :
Dév pas costaud.

Je n'ai jamais rédigé ce dév sur papier, cependant quand je le faisais je prenais le Berhuy p80 et faisais comme lui, puis le Francinou pour SLn(K) connexe (par arcs).

Et si ca s'avérait court j'avais la section DOC (dense ouvert connexe) du carnet de voyage en algébrie.

À mon sens, montrer qu'un ensemble de matrices est connexe est classique, on passe par un système de générateurs, on montre la connexité par arcs en reliant à $+/-Id$. On pourra le faire par exemple avec $SO_3(\mathcal{R})$.
Références :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 144 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 75 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 58 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 629 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 76 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 145 versions au total)