Développement : Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Détails/Enoncé :

On démontre que Sl_n(K) est engendré par les matrices de transvection et qu'un élément de Gl_n(K) peut s'écrire comme un produit de transvections et d'au plus une dilatation.

Application à la connexité de Sl_n(R) et Sl_n(C) et aux deux composantes connexes de Gl_n(R).

On montre également la connexité de Gl_n(C), mais sans passer par les transvections/dilatations.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Version de F.A.

Auteur :
F.A.
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Fichier :
- Générateurs GL(E) - V1.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 30 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 34 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 37 versions au total)