Connexe non connexe par arcs

Simplicité de SO_3(R)

Si le développement est un peu court on peut montrer que les renversements engendrent SO_n(R) ou bien qu'ils sont conjugués dans SO_n(R).

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Théorème de projection sur un convexe fermé

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Le théorème de Riesz

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Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Même si on ne fait cela en développement, il me semble indispensable de connaître les démonstrations de ces théorèmes fondamentaux.
En 15 minutes, je ne parvenais pas à faire les 3 équivalences de Riesz, je ne faisais que 1) équivalent à 2) en expliquant rapidement pourquoi les fermés bornés sont compacts en dimension finie (Bolzano-Weierstrass et extractions successives)

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel

Utilisation de la notion de compacité.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[GouAn] Analyse : Gourdon
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Connexité. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily

Espaces complets. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Connexité. Exemples et applications.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Ne pas tenir compte du numéro c'est une coquille

Connexité. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

On peut aussi mettre Cauchy-Lipschitz global en développement.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

(Pour Galton-Watson mes réf c'est Cotrell, et Delmas - Modèles aléatoires)

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces complets. Exemples et applications.

Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Il faut se concentrer dans cette leçon sur l'aspect algébrique du groupe linéaire et l'étudier en tant que groupe en parlant de générateurs, sous-groupes remarquables, actions de groupes, etc. On peut également pousser un peu plus les choses avec les groupes projectifs et les isomorphismes exceptionnels. Il faut également garder une petite place pour parler des propriétés topologiques de cet espace (connexité, sous-groupes compacts, ...).

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Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Cette leçon est vaste et il y a beaucoup de choses à dire ! Il est notamment possible de parler de théorie des corps avec le théorème de la base télescopique puisque ces notions exploitent entièrement les idée d'espace vectoriel de dimension finie.
Je pense aussi que c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attends un niveau assez élevé dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démonstrations (au moins les idées).

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Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...

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Connexité. Exemples d'applications.

Je pense que dans cette leçon, de même que dans la 203 sur la compacité, il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux me semble dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut le faire mais il faut être sûr de bien maitriser la topologie générale...
Personnellement, je n'ai utilisé le livre de Marco "Analyse L3" que pour cette leçon... On peut sûrement tout trouver dans les autres livres mais j'aimais bien comment il présentait la connexité.
C'est important de mettre des applications au calcul diff, aux équa diff, à l'analyse complexe...Il faut aussi connaître le fameux contre-exemple d'espace métrique connexe mais non connexe par arcs.
Pour mon DEV1, finalement je ne fais que le théorème de Runge faible en allant doucement... Il se recase aussi dans 241 et 243... Ce n'était vraiment pas mon développement préféré...

Espaces complets. Exemples et applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

On peut parler de beaucoup de choses et d'espaces dans cette leçon. Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les espaces de fonctions et non pas sur les fonctions en elles-mêmes. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions et plutôt donner des propriétés sur les espaces (densité, compacité, etc.).

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Utilisation de la notion de compacité.

Attention cette leçon traîte de l'utilisation de la compacité et non de la compacité en elle-même ! Il faut donc donner le plus d'exemples et d'applications possibles et varier au maximum les domaines d'application.

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Connexité. Exemples d'applications.

Dans cette leçon il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux peut être dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut également parler de simple connexité ou regarder uniquement les différentes notions de connexité mais au niveau local. Il faut bien connaître les différentes implications entre les différents types de connexité et avoir en tête des contre-exemples et donner pas mal d'applications comme le suggère le titre (calcul différentiel, équations différentielles, analyse complexe, etc.).

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Espaces complets. Exemples et applications.

Il faut bien connaître des exemples d'espaces complets mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. Le théorème de Baire et ses conséquences est un bon investissement à faire pendant l'année.

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Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Il faut montrer dans cette leçon l'importance de la dimension finie dans plusieurs contexte en montrant explicitement ses apports.

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Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Le lemme de Baire et ses conséquence n'est pas obligatoire mais c'est un bon investissement à faire pendant l'année. En revanche, parler des espaces de Hilbert semble indispensable sinon la leçon risque d'être trop courte et trop pauvre en résultats.

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Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un espace de Hilbert en montrant que son orthogonal est réduit à {0}, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne et savoir calculer une distance à l'aide de la projection orthogonale.

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Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

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Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Pour cette leçon il faut faire pas mal d'exercice afin de se souvenir d'astuces qui peuvent être utiles.

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Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Cette leçon est un quasi copier-coller de ma leçon 229, en remplaçant juste le I. En vrai, je pense que ça passe, il faut juste bien motiver tout ça dans les 6 minutes : comme je l'ai dit pour la 229, la convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation).
La partie convexité en analyse complexe est un peu bof... On peut la virer je pense, mais ça donne au moins une application en plus...
Je suis resté très basique car je trouve la convexité difficile, mais le rapport du jury propose plein de pistes d'approfondissement.
Pour Galton-Watson, il faut bien justifier en quoi la convexité intervient dans les démonstrations. J'ai pris ce développement dans le livre de Delmas, Modèles aléatoires, que je ne trouve pas sur le site.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.

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