Analyse. Théorie de l'intégration

Briane, Pagès

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Escalier de Cantor
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Théorème de Radon Nikodym
Densité des fonctions tests + Riemann Lebesgue

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

205 (2026) Espaces complets. Exemples et applications.
201 (2026) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
239 (2026) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
253 (2026) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
209 (2026) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
234 (2026) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2026) Problèmes d’interversion de symboles en analyse.
236 (2026) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
241 (2026) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples
250 (2026) Transformation de Fourier. Applications.
149 (2026) Déterminant. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
208 (2026) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
213 (2026) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
229 (2026) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
228 (2026) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Utilisée dans les 9 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 107 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
  • Références :
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  • Remarque :
    J'ai choisi dans cette leçon de rester autant que possible dans des espaces mesurés abstraits, car le fait de développer des théorèmes abstraits de théorie de la mesure trouve de nombreuses applications en probabilités, mais aussi en analyse (en permettant par exemple de démontrer de façon simplifiée des théorèmes tels que l'approximation par convolution). J'ai défendu ce point de vue dès l'introduction du plan. Le jury a très fortement apprécié ce choix, qui d'après lui était original, mais a bien insisté sur le fait qu'il faut absolument avoir plusieurs applications dans un cadre abstrait, sinon il est nettement préférable de se restreindre à $R^d$ muni de la mesure de Lebesgue.

    Le plan contient quelques erreurs mais le jury ne m'en a pas vraiment tenu rigueur car je les ai rapidement corrigée à l'oral à leur demande :
    - dans le théorème de Fubini, c'est une simple implication et non une équivalence ((i) implique (ii) et (iii))
    - je l'ai corrigé sur le scan, mais j'avais écrit $L^1$ ou lieu de $L^\infty$ dans le théorème 18.iii

    Le jury a choisi le développement 1, qui consiste en une preuve peu usuelle du théorème d'holomorphie sous l'intégrale à l'aide du critère Morera et de la formule de Cauchy, avec une application au problème de moments en probabilités (un exemple d'application concrète de la théorie des intégrales à paramètres dans les espaces sigma-finis donc). Il a beaucoup apprécié l'originalité du développement, et ne m'a pas reproché le fait qu'il soit beaucoup plus simple que le deuxième (théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). (Vous pouvez trouver le développement rédigé sur mon profil agreg maths ;))

    Voici les questions et éléments de discussion avec le jury dont je me souviens, pas forcément dans l'ordre. A la fin de ce (trop long) paragraphe, j'ai ajouté les éléments de réponse dont nous avons parlé avec le jury :
    1) énoncer le critère de Morera (utilisé pour le développement). Fonctionne-t-il quel que soit la nature de l'ouvert sur lequel est défini la fonction holomorphe ?
    2) dans la version proposée du développement, on n'a pas vraiment besoin que la loi de proba considérée soit à support compact. Donner une condition suffisante plus faible pour avoir le même résultat sans changer la démonstration.
    - Préciser l'application 23 (en particulier, en quoi est-ce un corollaire des théorèmes de régularisation ?)
    3) le théorème de Riesz-Fréchet-Kolomogorov (application 24) peut-il être mis en correspondance avec un autre critère de compacité ? En particulier, comment peut-on relier ses hypothèses à celles de cet autre théorème ? L'hypothèse (iii), dite d'équitension, se retrouve également en probabilités. Dans quel contexte ?
    4) Donner un exemple de "vraie" partie de $L^p$ pour laquelle on utilise le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov pour montrer qu'elle est compacte. (Remarque : le jury a bien signifié qu'il FAUT savoir répondre à cette question si on veut présenter ce théorème, et bien sûr, il ne faut pas se contenter d'une partie qui est trivialement compacte et dont l'étude ne nécessite donc pas ce puissant théorème)
    5) Donner des exemples de fonctions "concrètes" définies par une intégrale à paramètre, et qui ont de vraies applications en maths
    6) Dans le lemme de Fatou (lemme 3), l'inégalité peut-elle être stricte ? Si oui, donner un exemple.
    7) Démontrer le théorème 18.ii et 18.iii
    8) Dans l'exemple 16, que se passe-t-il si l'une des deux variables n'admet pas de densité ? Et si aucune des deux n'en admet ?

    En conclusion, je pense avoir fait objectivement un plan très difficile par rapport à ce qui est attendu dans cette leçon, et qu'il n'est pas du tout nécessaire d'aller aussi loin (ce qu'a confirmé le jury lors des retours). Le jury a tout de suite posé des questions assez difficiles, qui allaient chercher plus loin que le programme (voire beaucoup plus loin lorsque la discussion nous a mené aux espaces de Sobolev et à la convolution des mesures) ; si ce degré d'abstraction vous intéresse, il faut vraiment l'avoir bien préparé en amont, en particulier les applications concrètes de la théorie abstraite (mon jury ne se serait pas contenté d'applications qui exploitent uniquement la théorie contre la mesure de Lebesgue au vu de la manière dont j'ai écrit mon plan) : pour ça, les probas sont vos amies (puisqu'on y passe notre temps à intégrer contre des mesures affreuses) !


    Elements de réponse :
    1) Le critère de Morera est effectivement valide quelque soit l'ouvert. On le démontre d'abord pour un ouvert convexe, puis on utilise le fait que l'holomorphie est une propriété locale et que $\mathbb C$ est localement convexe.
    2) Il suffit que la loi de proba en question admette un moment gaussien, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que $\exp(\epsilon x^2)$ soit intégrable contre $\mu$. Cette amélioration permet notamment d'appliquer le résultat à la loi normale !
    3) Ce théorème fait penser au théorème d'Ascoli. L'hypothèse (ii) est un analogue $L^p$ de l'hypothèse d'équicontinuité, tandis que l'hypothèse (iii) permet de palier au fait que nos fonctions n'ont plus à être définies sur un compact (on s'y ramène alors grâce à cette hypothèse qui signifie que la masse des fonctions de H se dissipe uniformément à l'infini). L'hypothèse (iii), dans le cas des probabilités, est équivalente à la propriété d'uniforme intégrabilité, qui sert par exemple pour le théorème de Vitali (on la retrouve également dans l'énoncé du théorème de Prokhorov, mais je l'ai découvert après l'oral).
    4) Toute partie équitendue bornée dans l'espace de Sobolev $W^{1, p}$ (pour la norme Sobolev) est compacte pour la topologie $L^p$. Bien entendu, la notion d'espace de Sobolev est hors-programme, mais je n'ai sincèrement rien trouvé de plus simple comme vraie application du théorème de RFK. C'est sciemment que je ne l'ai pas indiquée dans le plan, pour éviter les questions trop directes sur les espaces de Sobolev. Cela dit, une fois que je l'ai introduit, le jury m'a demandé de préciser la définition de la norme Sobolev et d'amorcer la démonstration.
    5) J'ai répondu la fonction gamma (qui est dans le plan), la fonction zeta (qu'on voit comme une intégrale contre la mesure de comptage) et la fonction bêta (en précisant que je ne sais pas me servir de celle-ci, mais qu'elle apparaît au moins dans la définition de la loi bêta en probas)
    6) La bosse glissante dessinée en annexe donne un exemple où l'inégalité est stricte.
    8) Cela marche toujours, mais on obtient la convolution d'une fonction contre une mesure (dont j'avais sciemment évité de parler dans le plan). Quand aucune des deux variables n'est à densité, c'est une convolution entre deux mesures de probas (c'est ce que j'ai répondu, en ajoutant que j'en avais seulement entendu parler mais que je ne sais pas vraiment le définir, ce qui n'a pas gêné le jury puisque la question allait chercher beaucoup plus loin que mon plan).
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