Développement : Théorème de Müntz

Détails/Enoncé :

On munite $C( [0,1], \mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $(a_n)$ une suite stictement croissante de $\mathbb{R}_+^*$.

Alors la famille $(x^{a_k})_{k \ge 0}$ est une base hilbertienne de $C( [0,1], \mathbb{R})$ si et seulement si la série $\sum_{k \ge 0} \frac{1}{a_k}$ est divergente.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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    Un peu technique, à éviter si vous avez peur des calculs (mais quel joli résultat !).

    Je le prends pour les leçons 149,201 et 209.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 291 de la référence.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 549 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)