Développement : Théorème de Müntz

Détails/Enoncé :

On munite $C( [0,1], \mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $(a_n)$ une suite stictement croissante de $\mathbb{R}_+^*$.

Alors la famille $(x^{a_k})_{k \ge 0}$ est une base hilbertienne de $C( [0,1], \mathbb{R})$ si et seulement si la série $\sum_{k \ge 0} \frac{1}{a_k}$ est divergente.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Un peu technique, à éviter si vous avez peur des calculs (mais quel joli résultat !).

    Je le prends pour les leçons 149,201 et 209.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 291 de la référence.
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    Lourd en calculs, surtout pour la 149 où il vaut mieux faire determinant de Gram+ Cauchy et juste calculer la distance de $x^m$ à $V_N$.
    On peut récupérer en plus la divergence de la série harmonique par le théorème de Weierstrass
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    Vous ne voulez pas montrer Weierstrass à l'agreg ? Faites-mieux : montrez le théorème de Müntz, à prix discount : $\mathrm{Vect}(x^{\alpha_n})$ est dense dans $\mathcal{C}^0([0, 1])$ si et seulement si $\sum\frac{1}{\alpha_n}$ diverge. Publicité mensongère : on utilise le théorème de Weierstrass. Le principal intérêt de ce développement gourdonesque est qu'il utilise deux déterminants classiques, à savoir Cauchy et Gram, vous m'avez bien entendu, ce qui permet de garnir la leçon déterminant, et ça, on ne dit pas non.
  • Références :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 777 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 163 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 390 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)