Leçon 202 * : Exemples de parties denses et applications.

(2016) 202
(2018) 202

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 202 - Exemples de parties denses et applications.) Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de $R$ et leurs applications (par exemple la densité des $(\cos(n\theta)_{n \in N})$, ou encore les critères de densité dans un espace de Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers (le choix du point de vue probabiliste exige d’en maîtriser tous les aspects) suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité. Des exemples matriciels trouvent leur place dans cette leçon comme l’étude de l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans C (et même dans R pour les candidats voulant aller plus loin.) Pour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$. Il est également possible de parler de l’équirépartition.

(2016 : 202 - Exemples de parties denses et applications.) Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de R et leurs applications, ou encore les critères de densité dans un espace de Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité. Pour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$ . Il est également possible de parler de l’équirépartition.
(2015 : 202 - Exemples de parties denses et applications.) Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme par exemple les sous-groupes de $\mathbb{R}$ et leurs applications. Cette leçon permet aussi d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles par séries de Fourier.
(2014 : 202 - Exemples de parties denses et applications.) Cette leçon permet d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.

Plans/remarques :

2017 : Leçon 202 - Exemples de parties denses et applications.


2016 : Leçon 202 - Exemples de parties denses et applications.


Retours d'oraux :

2017 : Leçon 202 - Exemples de parties denses et applications.

  • Leçon choisie :

    202 : Exemples de parties denses et applications.

  • Autre leçon :

    260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Sard (version faible)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Est-ce que $\sum\limits_{n}z^n$ est dans l'espace de Bergman du disque unité?
    2. Quelle est la transformée de Fourier de $x\mapsto\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$?

    Pendant la résolution de ce deux exercices de nombreuses questions m'ont étaient posées, notamment sur la convergence des séries entières, la détermination de leur rayon de convergence et les intégrales semi-convergentes.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    L'un des trois membres du jury faisait mine de s'endormir, un autre me mitraillait de questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    15.00