Développement : Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Détails/Enoncé :

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour tout $n$ on définit $B_n(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$ avec $x \in [0,1]$. La suite de polynômes $(B_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f$.

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement testé devant un jury d'agrégation.
    Source du développement:
    Annales corrigées des problèmes posés aux concours 2015 - Mathématiques MP - Edition H&K - page 20
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :

    Recasages : 203,264,262,201,209

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
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  • Auteur :
  • Remarque :
    La preuve est assez sympa et se recase bien dans pas mal de leçons de probabilités. À ne pas présenter dans des leçons qui ne traitent pas de probabilités, à mon avis.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier.

    Pour les recasages à mon avis:
    Approximation par des fonctions régulières
    Variables aléatoires discrètes
    Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Le dev est au recto, remarque et appli au verso
    Réf : Zuily - Queffelec p.518
    Recasage : 201, 203, 209, 228, 241, 264

    Remarque : Développement classique, cette version avec les proba est plus sympa et élargit le recasage. Le dev est assez court dans cette version, prenez bien votre temps. Sachez répondre aux questions traités au verso. Le recasage dans la 261, la 262 ou la 266 est risqué, je vous le déconseille.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 1 , Ouvrard (utilisée dans 16 versions au total)
Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 777 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 84 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 257 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 161 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 21 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 150 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 40 versions au total)