Développement : Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Détails/Enoncé :

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour tout $n$ on définit $B_n(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$ avec $x \in [0,1]$. La suite de polynômes $(B_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement testé devant un jury d'agrégation.
    Source du développement:
    Annales corrigées des problèmes posés aux concours 2015 - Mathématiques MP - Edition H&K - page 20
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  • Remarque :

    Recasages : 203,264,262,201,209

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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  • Remarque :
    La preuve est assez sympa et se recase bien dans pas mal de leçons de probabilités. À ne pas présenter dans des leçons qui ne traitent pas de probabilités, à mon avis.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier.

    Pour les recasages à mon avis:
    Approximation par des fonctions régulières
    Variables aléatoires discrètes
    Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 1 , Ouvrard (utilisée dans 12 versions au total)
Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 78 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 7 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)