Leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité ), sans proposer des exemples significatifs d'utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative d'équations différentielles, etc.). La leçon peut être aussi avantageusement illustrée par des exemples d'opérateurs à noyau et l'analyse de leur compacité par le théorème d'Ascoli, par exemple. Le rôle de la compacité pour des problèmes d'existence d'extrema mériterait d'être davantage étudié (lien avec la coercivité en dimension finie). Pour les candidats solides, les familles normales de fonctions holomorphes fournissent des exemples fondamentaux d'utilisation de la compacité. Les opérateurs autoadjoint compacts sur l'espace de Hilbert relèvent également de cette leçon, et on pourra développer par exemple leurs propriétés spectrales.

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Développements :

• Morphisme d'algèbres sur C(K,R) [ref]
• Points de Lebesgue d'une fonction L1
• Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
• Théorème d'Hadamard Levy
• Équation différentielle dans les espaces de Hölder
• Théorème du point fixe de Brouwer
• Injection compacte dans les espaces de Sobolev
• Isomorphismes entre espaces de fonctions C(K)
• Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach) [ref]
• Densité des fonctions continues nulles part dérivables
• Ellipsoïde de John Loewner
• Théorèmes de Kakutani et Massera
• Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
• Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
• L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
• Théorème de Jordan C1
• Billard convexe
• Décomposition polaire
• Théorème de Von Neumann des sous-variétés

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :