Développement : Résolution des équations quadratiques dans Fp

Détails/Enoncé :

D'abord, on résout explicitement les équations quadratiques dans $\mathbb{F}_p$ ($p$ premier), plus précisément :
"Soient $a,b,c\in\mathbb{F}_p$ avec $a\neq 0$. L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet des solutions si et seulement si $\Delta:=b^2-4ac$ est un carré de $\mathbb{F}_p$, et le cas échant les solutions sont $\frac{-b\pm\delta}{2a}$ où $\delta\in\mathbb{F}_p$ est tel que $\delta^2=\Delta$."

Enfin, on va jusqu'au bout de la résolution explicite de ces équations en pratique en prouvant une caractérisation classique d'être un carré non-nul dans $\mathbb{F}_p$ lorsque $p\geqslant 3$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    ATTENTION, il y a une erreur dans mon pdf : $(\mathbb{F}_p)^2$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb{F}_p$ en général. À la place, on peut se contenter d'écrire qu'il est stable par multiplication.
    Ce développement est à la fois court et facile à retenir. Même si son contenu est élémentaire, il m'avait permis de boucher les derniers trous de mon tableau de recasage, et sa simplicité a fait que j'ai toujours été capable de le faire et le refaire sans m'appuyer sur un livre.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :