Développement : Critère de Cohn

Détails/Enoncé :

On énonce un critère d'irréductibilité nous disant que si l'évaluation en n d'un polynôme à coefficients entiers est un nombre premier alors notre polynôme est irréductible.
Ils se recasent parfaitement dans les leçons 121,141 et 144 mais il faut faire un choix dans la version du théorème qu'on veut présenter car il est long pour 15 min, je donnerais une version manuscrite.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Tout est détaillé dans le livre voir même un peu trop.
    A savoir qu'il existe un critère plus classique ou si P(1) est premier avec tous les coeffs strictement positifs alors on a aussi l'irréductibilité.
    Pour les exemples concrets on part vite dans des nombres premiers très grands. On a par exemple
    X^^3+ 2x^^2 + 3x + 5 qui marche car H=5 et on prend n =13 par exemple

    On a en gros trois variantes de ce critère.
    Pour la deuxième du développement on a comme exemple:
    P(x)=x4+8 évalué en 9 donne 6569

    Il faut avoir en tête les autres critères (par exemple Eisenstein et le critère des racines rationnelles pour les polynômes de degré 2 ou 3) pour ne pas donner des exemples qu'on peut résoudre trivialement avec des critères plus simple. En gros le critère de Cohn est vraiment utiles pour des polynômes de degré supérieur à 4 et donc forcément les calculs deviennent gros
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 85 versions au total)