Développement : Nombres de Carmichael et théorème de Korselt

Détails/Enoncé :

Soit $n$ un entier naturel. On dit que $n$ est un nombre de Carmichael si $a^n = a [n]$ pour tout entier $a$.

Un entier naturel $n$ est de Carmichael ssi $n$ est sans facteur carré et pour tout nombre premier $p$ divisant $n$,

$$ p-1 | n-1 $$

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Section 3.3.1 dans Demazure :
    - c'est une application théorème chinois pour la partie sans facteur carré
    - si N a un facteur carré, Demazure exhibe un élément d'ordre p, mais l'existence d'un tel élément est garantie par le théorème de Cauchy
  • Auteur :
  • Remarque :
    Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
    Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
    Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
    Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je montre la cyclicité des inversibles de Z/pZ puis le théorème de Korselt. Rombaldi pour le premier, Gourdon pour le second.

    Recasages 2025 : 120,121,127.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Le dev est au recto, exemples au verso.
    Réf : Rombaldi p.329-330
    Recasage : 120, 121, 127, 142 (risqué)

    Remarque : Dev original ! Le 1er lemme est pour justifier le recasage (bancal) de la 142. Connaître les exemples au verso (561 et 1105). Savoir que le sous groupe fini d'un corps est cyclique. Attention Mathis Lemay a raison, il manque l'argument du théorème Chinois dans le Rombaldi. Je vous conseille de prendre votre temps car le dev demande de la concentration. Pour la culture, il existe une infinité de nombre de Carmichaël et la preuve est récente !
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 390 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 762 versions au total)