Leçon 120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

(2018) 120

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 120 - Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.) Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Il est nécessaire de bien maîtriser le théorème chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du théorème chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le PGCD et le PPCM de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le théorème chinois à l’étude du groupe des inversibles et, ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du théorème chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents. Enfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.

(2016 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications) Dans cette leçon, l’entier n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les idéaux de $Z/nZ$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. S’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en donnant une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, ceci en faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l’étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d’anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents et les idempotents. Enfin, il est indispensable de présenter quelques applications arithmétiques des propriétés des anneaux $Z/nZ$, telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l’algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant au calcul effectif des racines carrées dans $Z/nZ$.
(2015 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.) Cette leçon, souvent choisie par les candidats, demande toutefois une préparation minutieuse. Tout d'abord, $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et, plus généralement, les morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Il est nécessaire de bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Et pour les candidats plus étoffés, connaître une généralisation du lemme chinois lorsque deux éléments ne sont pas premiers entre eux, faisant apparaître le pgcd et le ppcm de ces éléments. Il faut bien sûr savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles, et ainsi, retrouver la multiplicativité de l'indicatrice d'Euler. Toujours dans le cadre du lemme chinois, il est bon de distinguer clairement les propriétés de groupes additifs et d'anneaux, de connaître les automorphismes, les nilpotents, les idempotents... Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ telles que l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies. De même, les applications cryptographiques telles que l'algorithme RSA sont naturelles dans cette leçon.
(2014 : 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.) Cette leçon, plus élémentaire, demande toutefois une préparation minutieuse. Tout d'abord $n$ n'est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de $Z/nZ$ et les morphismes de groupes de $Z/nZ$ dans $Z/mZ$. Bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Savoir appliquer le lemme chinois à l'étude du groupe des inversibles. Distinguer clairement propriétés de groupes additifs et d'anneaux. Connaître les automorphismes, les nilpotents, les idempotents. Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des anneaux $Z/nZ$, telles l'étude de quelques équations diophantiennes bien choisies.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.


2017 : Leçon 120 - Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.


2016 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications


2015 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 120 - Anneaux $Z/nZ$. Applications.

  • Leçon choisie :

    120 : Anneaux $Z/nZ$. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan. Le niveau des questions était assez bas à mon sens, mais il fallait être capable d'y répondre rapidement et sans erreur.

    Question : Calculer le 6-ème polynôme cyclothymique.
    Question : Questions sur l'indicatrice d'Euler, lien avec le théorème chinois
    Question : Théorème de Wilson, démonstration
    Question : Démonstration de RSA
    Question : Autre application du théorème chinois ? Equations diophantiennes. Exemple ?
    Question : Nombre d'automorphismes de Z/nZ ?

    ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique qui ne m'a pas tenu rigueur d'avoir posé la division euclidienne de X^8-1 par X^4+1.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise particulière, si ce n'est la préparation qui se fait dans un milieu assez bruyant et dense.

  • Note obtenue :

    13