Développement : Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ

Détails/Enoncé :

Théorème : L'application $\varphi (x) = x^k$ de $Z/nZ$ dans $Z/nZ$ est bijective ssi $n$ est sans facteur carré et si $p-1$ est premier avec $k$ pour tout facteur premier $p$ de $n$.

Théorème : Il y a exactement $2^s$ idempotents dans $Z/nZ$ où $s$ est le nombre de nombres premiers intervenant dans la décomposition en irréductibles de $n$.

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Recasages pour l'année 2025 :

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

Autres années :

Versions :

Version de Admin

Auteur :
Admin
Référence :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte

Version de Matoumatheux

Auteur :
Matoumatheux
Remarque :
En rédigeant ce développement, je me suis rendu compte qu'on utilisait plein de fois le théorème chinois. Ainsi, j'ai rajouté dans mon pdf plein de résultats importants qui utilisent le théorème chinois, comme les conditions sur $n$ pour assurer la cyclicité de $\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)^{\times}$ ou le critère de Korselt pour les nombres de Carmichaël. Cela peut égayer ce développement qui peut paraître morose au premier abord. Enjoy !
Références :
Fichier :
- Résultats de structures sur Z mod n et applications en pagaille du lemme chinois.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 492 versions au total)