Développement : Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Détails/Enoncé :

Pour $n \geq 1 $,
$$ \left( \textbf{Z} / n \textbf{Z} \right) ^{\times} \ \text{est cyclique} \ \Longleftrightarrow \ n = 1, 2, 4, p^{\alpha} \ \text{ou} \ 2p^{\alpha}, \ \text{avec} \ p \geq 3 \ \text{premier et } \alpha \geq 1.$$

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention : dans l'énoncé du théorème 3, p doit être supérieur ou égal à 3 (je ne le précise pas ; je le modifierai prochainement).

    Il est possible que je change de référence aussi, parce que je n'aime pas trop la façon dont la preuve est présentée dans le Perrin...

    Je donne aussi un peu plus de détails, mais peut-être que le lemme 2 ne serait pas à prouver à l'oral (sauf demande du jury a posteriori).

    Attention aux coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai modifié un argument du Perrin pour ne pas avoir à parler de produit semi-direct mais pour le reste tout est tiré tel quel. Je pense qu'on a pas le temps de tout faire, faut un peu faire son marché. Attention aux coquilles
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Pas le développement le plus fun mais il est là. Je ne voulais pas prendre l'argument des produits semi-directs du Perrin alors j'ai repris la version de Méthivier du développement (pas mots pour mots, mais on en est pas loin). J'ai délibérément sauté la preuve du lemme 2 parce que c'est beaucoup trop long sinon.

    Je prends ce développement pour les leçons 104, 108 et 120.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 25.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention aux éventuelles coquilles.

    Développement qui fait parfois peur mais faut pas avoir peur.
    Le développement est cool, pour la fin je n'ai pas de ref mais dans Perrin il utilise des suites exactes, puisque je suis pas à l'aise avec cette notion je fais autrement, mais apparemment tout ce qui touche au suite exacte peut être traduit.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 399 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 449 versions au total)