Leçon 110 * : Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.

(2018) 110

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.) Pour l’édition 2018 du concours, l’intitulé de cette leçon évolue en Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications. Les commentaires qui suivent prennent en compte cette évolution. Le théorème de structure des groupes abéliens finis a une place de choix dans cette leçon, et la dualité des groupes abéliens finis doit être détaillée. Comme application, la cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini est tout à fait adaptée. D’ailleurs, des exemples de caractères, additifs, ou multiplicatifs dans le cadre des corps finis, sont les bienvenus. Il est possible de s’intéresser aux sommes de Gauss. Pour aller plus loin, la leçon peut naturellement déboucher sur l’introduction de la transformée de Fourier discrète qui pourra être vue comme son analogue analytique, avec ses formules d’inversion, sa formule de Plancherel , mais dans une version affranchie des problèmes de convergence, qui font le sel des leçons d’Analyse sur ce sujet. Ainsi, la leçon peut mener à introduire la transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien dont l’ordre est une puissance de 2 ainsi que des applications à la multiplication d’entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes via la transformée de Hadamard.

(2016 : 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications) Le théorème de structure des groupes abéliens finis a une place de choix dans cette leçon. On pourra en profiter pour montrer l’utilisation de la dualité dans ce contexte. Comme application, la cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini est tout à fait adaptée. D’ailleurs, des exemples de caractères, additifs, ou multiplicatifs dans le cadre des corps finis, sont les bienvenus. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux sommes de Gauss. L’algèbre du groupe est un objet intéressant, surtout sur le corps des complexes, où elle peut être munie d’une forme hermitienne. On peut l’introduire comme une algèbre de fonctions, munie d’un produit de convolution, mais il est aussi agréable de la voir comme une algèbre qui « prolonge » la multiplication du groupe. La transformée de Fourier discrète pourra être vue comme son analogue analytique, avec ses formules d’inversion, sa formule de Plancherel, mais dans une version affranchie des problèmes de convergence, incontournables en analyse de Fourier. On pourra y introduire la transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien d’ordre une puissance de 2 ainsi que des applications à la multiplication d’entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes via la transformée de Hadamard.
(2015 : 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.) Il s'agit d'une nouvelle leçon qui n'a pas encore trouvé l'affection des candidats. Pourtant, le sujet et abordable, par exemple : le théorème de structure des groupes abéliens finis, qui a bien entendu une place de choix dans cette leçon. On pourra en profiter pour montrer l'utilisation de la dualité dans ce contexte. Comme application, la cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini est tout à fait adaptée. D'ailleurs, des exemples de caractères, additifs, ou multiplicatifs dans le cadre des corps finis, sont les bienvenus. Pour les candidats chevronnés, les sommes de Gauss permettent de constater toute l'efficacité de ces objets. L'algèbre du groupe est un objet intéressant, surtout sur le corps des complexes, où il peut être muni d'une forme hermitienne. On peut l'introduire comme une algèbre de fonctions, munie d'un produit de convolution, mais il est aussi agréable de la voir comme une algèbre qui "prolonge" la mutiplication du groupe. La transformée de Fourier discrète pourra être vue comme son analogue analytique, avec ses formules d'inversion, sa formule de Plancherel, mais dans une version affranchie des problèmes de convergence, incontournables en analyse de Fourier. On pourra y introduire la transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien d'ordre une puissance de 2 ainsi que des applications à la multiplication d'entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes via la transformée de Hadamard.
(2014 : 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.) Il s'agit d'une nouvelle leçon pour laquelle le jury attend une synthèse de résultats théoriques et des applications détaillées. En particulier on pourra y introduire la transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien d'ordre une puissance de 2 ainsi que des applications à la multiplication d'entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes via la transformée de Hadamard.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 110 - Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.


2017 : Leçon 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.


2016 : Leçon 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications


2015 : Leçon 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.


Retours d'oraux :

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