Développement : Etude de l'anneau Z[i]

Matthieu C.

La première partie du développement est très classique et constitue la preuve du théorème des deux carrés dans le cas premier. Pour cette preuve, chacun fait ses choix de ce qu'il démontre ou pas; j'ai fait mes choix, je ne prétends pas que ce soit les meilleurs. De toute façon, pour présenter ce développement, il faut tout savoir démontrer... Ceci dit, je trouve que dans beaucoup de développements, l'isomorphisme entre les deux anneaux quotients n'est jamais démontré. Certes c'est pénible à faire, mais c'est quand même pas évident, j'ai préféré ne pas passer sous silence ce point.
Dans la seconde partie, on caractérise les irréductibles de Z[i]. C'est un peu moins traditionnel, mais c'est plutôt sympa, et renforce à mon goût le recasage dans la leçon sur les anneaux principaux: une partie dans la leçon sur cet anneau est très naturelle, le théorème des deux carrés devient un lemme qui sert à l'étude de l'anneau.
Développement pas spécialement court, maîtrisez le bien! Côté recasage à mon avis:
Anneaux principaux
Nombres premiers
Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables

Pour les références, Perrin pour le théorème des deux carrés et Ramis-Warusfel Tout en un pour la licence 3 pour les irréductibles de Z[i]. Perrin présente aussi une preuve de ce second point, mais je préfère la version du Ramis Warusfel.
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.