(2024 : 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.)
Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème des nombres et des corps de nombres utilisés en algèbre ou en géométrie. L'objectif n'est pas d'en présenter le plus possible, mais plutôt d'en choisir certains, suffisamment variés, en en expliquant la genèse et en soulignant leur intérêt par des applications pertinentes. Les nombres décimaux, dyadiques, etc. fournissent des ensembles de nombres dont l'étude, si elle est accompagnée d'applications pertinentes, a sa place dans cette leçon. Les questions d'approximation diophantienne et leur lien avec les fractions continues, sans toutefois être un attendu de la leçon, entrent dans la suite logique de ce type de considération.
Le corps des nombres algébriques, ainsi que certains de ses sous-corps particuliers, comme celui formé par l'ensemble des nombres constructibles ou des sous-anneaux formés par certains ensembles d'entiers algébriques constituent des pistes d'étude. Les candidates et candidats qui maîtrisent ces notions pourront aussi s'aventurer du côté des nombres de Pisot.
La transcendance de π et celle de e sont des résultats à connaître, et le candidat pourra en donner des applications s'il le désire, mais les démonstrations de ces résultats non triviaux ne sont pas exigibles. L' irrationalité de nombres remarquables ($\sqrt{2}$, nombre d'or, $e$, $\pi$ peut être abordée. Étudier les propriétés algébriques de certains ensembles de nombres (par exemple du type $\mathbb{Z}[\omega]$ où $\omega$ est un nombre algébrique) peut être une piste intéressante et mener à des applications en arithmétique.
L'utilisation des nombres complexes ou, pour aller plus loin, des quaternions, en géométrie ou en arithmétique constitue aussi une piste exploitable pour cette leçon.
127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Q: pourquoi y’a t’il (p-1)/2 carrés dans Fp?
A: preuve en considérant x→x^2 morphisme de groupe puis premier théorème d’isomorphimse avec le noyau et l'image de l’application
Q: Vous savez faire la division euclidienne de 5+2i par 2+i (c'étaient pas ces complexes là mais osef)
A: oui je sais faire ! Bon j’ai fait une erreur de calcul (la norme au carré de 2+i c’est 5, pas 3…) mais ils m’ont dit “vérifiez votre denominateur” et à part ça je connaissais la méthode
Q: vous savez prouver le lemme sur les isomorphismes d’anneaux que vous admettez?
A: oui, je fais la preuve que j’avais revue au brouillon. Pareil, théorème d’isomorphimse
Q: pourquoi Z[X]/(X^2 +1) est isomorphe à Z[i]?
A: on envoie i sur X. Il faut expliciter le morphisme car Z n’est pas un corps donc les histoires de corps de rupture ça marche pas.
Q: est-ce qu’il y a une infinité d’irréductibles dans Z[i]?
A: il faut montrer qu’il y a un infinité de nombre premiers congrus à 3 modulo 4. Il y a une infinité de nombre premiers congrus à n’importe quoi modulo n’importe quoi… euh non pardon c’est faux ce que je viens de dire, surtout pas !...mais 3 et 4 sont premiers entre eux donc ça marche
Q : vous savez prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4
A: je bafouille un truc sur les corps finis avant d’admettre que je sais pas.
Q: Ok, passons à la suite. Dans le plan vous affirmez que ll'ensemble des nombres algébriques sur un corps K est un corps, vous savez le prouver?
A: on considère K(x,y) pour x et y algebriques et on montre que c’est une extension de degré fini de K qui contient x/y et x-y
Q: quel est le degré de la racine 4eme de 2 sur Q?
A: j’essaie un truc par multiplication de degrés d’extensions, sans succès
Q: cherchez plutôt un polynôme minimal sur Q.
A: X^4-2 polynôme annulateur, je veux qu’il soit irréductible…euh…ahah! C’est le critère d’eisenstein avec p=2
Q: Vous savez prouver votre théorème de caractèrisation des éléments algebriques sur un corps ?
A: oui. Je refais (une partie, ils ont pas voulu voir toutes les implications sinon c’est très long) la preuve, c'était pas parfaitement fluide mais je m'en suis sortie assez vite
Q: pourquoi ça existe un polynôme minimal
A: on considère l'idéal des polynômes qui annulent a algébrique, c'est un idéal dans K[X] on prend son générateur c’est le polynôme minimal
Q: pourquoi on peut faire ça ?
A: car K[X] est principal
Q:Pourquoi ?
A: car K est un corps
Q: pourquoi le polynôme minimal est irréductible?
A: par l’absurde, s’il était réductible on aurait un facteur de degré plus petit qui annulerait a ce qui contredirait la minimalité
Q: C’est quoi le degré de R sur Q?
A: infini. On prend un transcendant x dans , [Q(x): Q] de degré infini puis base télescopique avec la convention infini x infini= infini
Q: comment on sait qu’il existe des nombres transcendants dans R?
A: l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, R est Indénombrable.
Q: votre application 12.5 mise à la fin du plan avec une astérisque là, C privé d’un nombre dénombrable de points est connexe par arcs, c'est une application de quoi?
A: oui pardon je l’ai rajoutée à la fin: c'est une application du fait que R est Indénombrable
Q: vous savez le montrer?
A: OUI ! J’ETAIS TROP CONTENTE ! C’EST MA PREUVE PRÉFÉRÉE DE TOUTE L'ANNÉE !
Q: vous affirmez que Z[(1+i racine (19))/5] n’est pas euclidien comment vous le prouvez?
A: euh …par l’absurde… je crois qu’on contredit l'irrationalité de racine(19) mais je ne me rappelle plus des détails
Q: vous avez un exemple de Z[w] qui ne soit pas principal?
A: c'est un sous anneau de C qui lui est principal…
Q: ça va nous aider ça ?
A: bah je me dis que je peux chercher un idéal de mon Z[w] tel que son générateur dans C ne soit pas dans Z[w]...
Q: on va plutôt en trouver un qui ne soit pas factoriel. Vous avez une idée du choix de w?
A:non
Q: w=iracine(5)
A: ahhhh oui ! Bon supposons qu’il n’est pas factoriel…(hésitation, je sais plus par où partir)
Q: ça veut dire quoi qu’il n’est pas factoriel ?
A: on n’a pas d’unique décomposition en irréductibles. Ah! Donc on va chercher un elt qui a deux décompositions distinctes en irréductibles
Q: prenez 6
A: bon déjà 6=2 * 3. Ensuite…(1+iracine(5))(1-iracine(5)). Il faut montrer que les éléments qu’on vient de voir sont irréductibles. Je m’en sors par un raisonnement que la norme d’arithméticiens. Ensuite je m’embrouille à essayer d’expliquer de 2 et 3 ne divisent pas (1+iracine(5))(1-iracine(5) (je me rends compte maintenant que j’aurais pu le déduire de l’irréductibilité). Le jury m’empêche de m’embourber plus.
Q: et donc ?
A: donc Z[iracine(5)] n'est pas factoriel
Q: donc il n’est pas…
A: principal
Q: donc il n’est pas…
A: euclidien
Q: Ok, c'est presque la fin…Vous définissez e comme la somme des 1/(n!), pourquoi cette somme est définie?
A: on regarde la série entière exponentielle des x^n/(n!) et on montre qu'elle a un rayon de CV infini. C'est parce que n!/ (n+1)! tend vers 0, c’est le critère de … Cauchy ou d’Alembert je sais plus. Cauchy je crois. Du coup la série est bien définie sur R et donc en particulier en 1
Q: vous savez montrer que l’ensemble des suites à valeur dans {0,1} est Indénombrable ?
A: oui , c'est encore l’argument diagonal de Cantor
Q: ok c'est terminé
Très bienveillant.
J'ai eu un gros trou de mémoire sur un détail dans mon développement. Je suis passée à la suite et suis revenu dessus à la fin.
Je n'ai eu aucune question sur les nombres constructibles alors que j'imaginais en avoir.
Il faisait vraiment très chaud.
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