Développement : Généralisation du théorème de Lambert

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{Q}(i\sqrt{d})=:\mathbb{K}$ un corps de nombres quadratique imaginaire. Alors, pour tout $\alpha\in\mathbb{K}^*$, $\exp(\alpha)\not\in\mathbb{K}$.

En application, on montre que $\pi\sqrt{k}$ est irrationnel pour tout $k\in\mathbb{N}^*$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Personnellement je n'utilise ce développement que pour la leçon 127 (nombres remarquables). J'avais besoin d'un développement dans cette leçon et comme j'ai un bas nombre de devs, ca me dérange pas que celui-ci ne serve que dans une seule leçon. La démonstration colle très bien à mon plan car elle utilise de l'approximation diophantienne sur un corps de nombres et j'en parle.

    J'ai mis deux autres recasages possibles mais je ne pense pas vraiment qu'ils soient exploitables.

    Le développement n'est pas trop long si on présente bien tous les outils dans sa leçon avant. Sinon, il n'est pas faisable.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie des nombres, Daniel Duverney (utilisée dans 9 versions au total)