Développement : Intersection de deux corps cyclotomiques

Détails/Enoncé :

Soient $m$ et $n$ des entiers naturels non nuls. On pose $N = ppcm(m,n)$ et $d = pgcd(m,n)$. Pour tout entier naturel non nul $t$, on désigne par $\zeta_t$une racine primitive de t-ème de 1 dans $\mathbb{C}$.

Alors $\mathbb{Q}(\zeta_m) \mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}(\zeta_N)$ et $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}(\zeta_d)$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Le recasage est le suivant :
    ***** 125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
    ***** 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
    ***** 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et
    applications.
    ***** 148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
    Rang. Exemples et applications.
    **** 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
    *** 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

    Le dernier est assez discutable, mais comme ça utilise beaucoup les propriétés de PGCD et PPCM, donc c'est tolérable.
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    Recasages: 102, 125, 127, 141, 142 (les 2 derniers sont un peu abusifs)

    J'aurai admis le lemme sur le sous-corps engendré par 2 corps qui n'est pas très intéressant. Ce résultat est vite balancé dans la littérature et je trouve pas l'avoir très bien fait. On peut consulter ce qu'a fait Etienne PEILLON dessus, il en a discuté en long en large et en travers avec nos profs.

    En terme de temps, ça se fait en 14min30. Je pense qu'il est fondamental de faire la tour d'extensions au tableau.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 510 versions au total)
Exercices d'algèbre , Ortiz (utilisée dans 16 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 54 versions au total)