Leçon 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

(2024) 102

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.) Les notions élémentaires concernant les nombres complexes de module 1 (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.) doivent être présentés, avant d'aborder l'aspect "groupe" de $S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il est souhaitable de présenter des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, et éventuellement les représentations de groupes, etc. On peut également s'intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$. Pour aller plus loin, on peut s'intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l'unité dans $\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l'exposé, ni l'essentiel d'un développement.

(2022 : 102 - Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon ne peut faire l'impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit s'y cantonner. Elle doit aborder l'aspect "groupe" de $S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, etc. On peut également s'intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$. Pour aller plus loin, on peut s'intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l'unité dans $\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l'exposé, ni l'essentiel d'un développement.
(2020 : 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.) Cette leçon ne peut faire l’impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit pas s’y cantonner. Elle doit aborder l’aspect « groupe » de $S^1$ en considérant son lien avec $(\mathbb{R},+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les groupes des nombres complexes de module 1 et des racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, spectres de matrices remarquables, etc. On peut également s’intéresser aux sous-groupes compacts de $\mathbb{C}^*$. Pour aller plus loin, on peut s’intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l’unité dans $\mathbb{Q}[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $\mathbb{R}^n$) mais ne doivent occuper ni le coeur de l’exposé, ni l’essentiel d’un développement.
(2019 : 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.) Cette leçon ne peut faire l’impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit s’y cantonner. Elle doit aborder l’aspect « groupe » de $S^1$ en considérant son lien avec $(R,+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, etc. On peut également s’intéresser aux sous-groupes compacts de $C^*$. Pour aller plus loin, on peut s’intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l’unité dans $Q[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $R^n$ mais ne doivent occuper ni le coeur de l’exposé, ni l’essentiel d’un développement.
(2017 : 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications) Cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects élémentaires. Elle doit donner l’occasion d’expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même, il est pertinent d’étudier les sous-groupes finis de $S^1$ dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$. Les transformées de Fourier discrètes et rapides peuvent aussi être abordées dans cette leçon.
(2016 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .
(2015 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie "groupe" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative "sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.
(2014 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, théorie des représentations, spectre de certaines matrices remarquables).

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Nombres complexes de module 1
    1) Plan complexe, nombres complexes
    2) Exponentielle complexe et trigonométrie
    II. Groupe des complexes de module 1
    1) Structure/pptes
    2) Sous groupes : racines de l'unité (DVT : Suite de polygones)
    3) Polynômes cyclotomiques (DVT : étude des polynômes cyclotomiques)
    III. Lien avec la géométrie
    1) Droites et cercles
    2) Transformations du plan
    3) Quaternions et transformations de l'espace


2024 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pas un grand fan de cette leçon, mais les développements que j'ai choisis me semblent pertinents.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
    Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :

    Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)

    Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
    Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
    De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
    Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/agrégation
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Les références sont à la fin des plans.

    Leçon que je n'apprécie pas. Mon plan a été fait en début d'année je suis sur qu'on peut mieux faire. Pour le IV je pense qu'il faut aussi utiliser Berhuy Algèbre le grand combat, car il parle des nombres complexes constructibles ce qui permet de gagner un peu de temps sur le dev 2 (qui est long). Regardez ma leçon 127 (c'est un plan semi détaillé) mais normalement il y'a tous les résultats qu'il faut pour le dev.
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2023 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


2020 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.


2017 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications


2016 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


2015 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Leçon choisie :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Autre leçon :

    122 : Anneaux principaux. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples que j’avais énoncées dans mon plan ou dans mon développement (par exemple : « qu’est-ce que l’ordre d’un élément d’un groupe ? », « pouvez-vous énoncer le théorème de relèvement C1 ? », etc.).

    Une partie significative (peut-être dix minutes ?) de l’échange a consisté à redémontrer un lemme que j’avais admis pour la preuve de mon développement, a savoir que dans un groupe abélien fini, il existe un élément ayant pour ordre l’exposant du groupe. J’ai été très fréquemment coupé dans ma démonstration par le jury qui voulait des exemples, des précisions, des liens avec d’autres théorèmes, etc.

    J’ai également eu beaucoup de demandes de preuves des résultats les plus simples énoncés sans preuve : pourquoi les valeurs d’un caractère d’un groupe abélien fini sont-elles des sommes de racines de l’unité ; démontrer l’existence et l’unicité de la décomposition polaire d’une matrice réelle inversible…

    Quelques exercices très simples et questions proches de mon plan appelant seulement des exemples ou contre-exemples m’ont été posées, notamment (je ne me souviens pas de tout) : le fait que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d’ordre l’exposant reste-t-il vrai si le groupe n’est plus supposé abélien ? Les noyaux de Dirichlet constituent-ils une approximation de l’unité ? Comment peut-on démontrer les identités trigonométriques de base à partir de la définition du sinus et du cosinus en séries entières ?

    Le seul exercice un peu élaboré qui m’ait été posé est : que peut-on dire d’un morphisme de groupes (U,×) ⟶ (U,×) (où U est le groupe des racines de l’unité). Je n’ai malheureusement pas réussi à faire l’exercice, pour cause de stress et canicule, et le jury m’a fait passer à autre chose, ce qui fait que j’ai été surpris de ma note…

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois jurés qui se répartissaient assez bien les rôles, chaque membre ayant visblement sa préférence dans mon plan, si bien qu’ils m’ont posé des questions sur des sujets assez distincts. Posture assez neutre : ni particulièrement sympathique, ni cassant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je passais l’agrégation en candidat libre, et n’avais jamais fait d’oraux blancs ni assisté à des oraux. C’était ma dernière épreuve, après ma leçon d’analyse et l’épreuve de modélisation.

    J’ai été surpris par le fait que mes développements, que je connaissais pourtant bien, m’ont « échappé », et j’ai perdu facilement une demi-heure à tenter de retrouver un bout manquant du théorème de Wantzel, que j’ai finalement abandonné pour présenter celui sur les caractères de groupes abéliens finis.

    Dès lors, assez peu de temps disponible pour relire mon plan, ce qui fait que j’ai laissé quelques erreurs, en particulier sur l’énoncé de mon développement (oubli d’une hypothèse d’abélianité du groupe, je crois) : j’ai donc fait tout mon développement avec l’hypothèse omise, et le jury a semblé offusqué du fait que j’aie incorrectement écrit mes hypothèses. Je me suis rattrapé dès que le jury m’a tendu une perche, mais je pensais avoir beaucoup perdu pour cette raison (spoiler : non).

    Autre conséquence de ce manque de temps : pas eu le temps de bien réfléchir à ce sur quoi je voulais insister dans ma défense de plan, et ma présentation a donc assez peu apporté à l’écrit. En particulier, je n’ai pas du tout réussi à insister sur la partie qui m’intéressait le plus (cyclotomie et théorème de Wantzel), si bien que je n’ai eu aucune question à ce sujet pendant l’oral.

    Un point important, qui concerne mes deux oraux : ce sont manifestement les thèmes développés qui étaient proposés dans le rapport de jury qui ont appelé le plus de développements. Je pense qu’il vaut donc mieux ne suivre les pistes proposées dans le rapport qu’à condition d’avoir un peu de bouteille…

    Cela dit, il paraît clair avec du recul que sur un sujet aussi simple, maîtriser deux développements pertinents assurait de pouvoir avoir une bonne note, les trois heures servant simplement à organiser les idées et exemples venant de multiples champs des mathématiques…

  • Note obtenue :

    20


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 400 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 101 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 457 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 32 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 10 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 139 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 7 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 104 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 107 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 69 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 87 versions au total)
Groupes, algèbres et géométrie, tome 1 , Arnaudiès (utilisée dans 3 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 96 versions au total)
Algèbre discrète de la transformée de Fourier , Peyré (utilisée dans 22 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 40 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 141 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 47 versions au total)
Géométrie analytique classique , Eiden (utilisée dans 16 versions au total)
Représentations linéaires des groupes finis , Serre (utilisée dans 6 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 86 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 34 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 50 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 23 versions au total)