Développement : Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles

Garénaux Marius

On retrouve les principales idées de la preuve dans les références, mais il est quand même utile de bien connaître le développement.

Aurel

Je me suis inspiré de Garénaux Marius pour l'idée, et j'ai rédigé en essayant de faire ressembler la preuve à la source.

Matthieu C.

Un développement franchement fabuleux. Il me paraît plutôt original, somme toute de très bon niveau, surtout pour le présenter à l'oral. Et puis le résultat est rigolo :)
Il est quand même un peu long, il faut très bien le connaître, et ne pas perdre de temps. Certaines étapes peuvent paraître un peu indigeste à cause des indices, mais une fois que l'on rentre bien dans la preuve, ça coule de source ! Je pense qu'il est judicieux, même si on n'en parle pas, de savoir pourquoi on appelle une matrice irréductible de cette façon, et le lien avec les chaînes de Markov. Il n'est pas extraordinaire en terme de recasages, quoiqu'il rentre dans la leçon sur les valeurs propres, et j'avais trouvé difficile d'avoir des développements bien dans cette leçon là (surtout pour moi pour qui l'analyse numérique n'était pas mon point fort). Attention quand même, il y a pas mal de petites choses à savoir, je le détaille dan mon pdf, avec aussi quelques conseils pour faire une présentation digeste de ce développement un peu technique. Côté recasages justement:

Racines de l'unité
Valeurs propres et vecteurs propres

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Castaing

J’ai fait une version augmentée, qui va jusqu'à la démonstration du théorème ergodique et de la convergence dans le cas apériodique où Sp(A) \cap S^1 = {1}
Comme dans la source on montre que les vp de module 1 forment un sous groupe du cercle unité. Il est de dimension finie donc c’est un Ud. Le chemin de la preuve nous a par ailleurs montré que les sous espaces propres associés sont de dimension 1 (les X_l sont entièrement déterminés par X_k0, la puissance d’irréductibilité m et la valeur propre).
On montre que les sous-espaces caractéristiques sont confondus avec les sous-espaces propres (à l’aide de l’aspect borné des matrices stochastiques et une decomposition de Dunford de l’endomorphisme induit par A sur le sous espace caractéristique).
On en déduit une diagonalisation avec les éléments de Ud et un bloc de rayon spectral <1 ce qui permet d’en déduire assez naturellement les deux théorèmes de convergence pour les chaînes de Markov à espaces d'états finis.

Du coup ça se recase mieux (on utilise des endomorphismes induits, de la réduction, des normes subordonnées ...) mais faut être efficace et accepter d’admettre des passages selon la leçon.
Au plus du plus je le mettrais dans les leçons
102, 150, 151, 152, 153, 156, 203, 208, 226, 262, 264. Mais il faut être certain de sa défense, et adapter (en particulier sur les leçons d’analyse). Les probas j'abuse un peu.

Pour les questions, il faut être prêt pour les normes subordonnées (pourquoi as t’on une norme subordonnée de B pour laquelle ||B||<1 ?). On utilise également la sous multiplicativité.
Savoir justifier que PE_{1,1}P^{-1} soit bien composée de lignes du vecteur stable par le fait que l'ensemble des matrices de coefficients de somme = 1 est un sous-espace affine comme solution d'une équation linéaire globale. (Mis en remarque mais expliqué un peu vite).
Potentiellement être près à retrouver une réduction réelle de la matrice A (avec des matrices de rotations et exhiber une matrice de passage réelle en décomposant entre parties réelle R et réelles et imaginaire et en étudiant P(X)=det(R+IX) qui est non-nul en X=i).