Développement : Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles

Détails/Enoncé :

Le théorème présenté est un joli résultat liant les matrices stochastiques et les groupes, en passant par les valeurs propres et les nombres complexes de module 1. Il existe différentes versions du théorème de Perron-Frobenius, selon les hypothèses sur la matrice. Celle présentée nous donne des informations sur le spectre des matrices stochastiques irréductibles. Plus précisément, on montre que l'ensemble des valeurs propres de module 1 d'une telle matrice forme un sous groupe de $\mathbb S^1$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Un développement franchement fabuleux. Il me paraît plutôt original, somme toute de très bon niveau, surtout pour le présenter à l'oral. Et puis le résultat est rigolo :)
    Il est quand même un peu long, il faut très bien le connaître, et ne pas perdre de temps. Certaines étapes peuvent paraître un peu indigeste à cause des indices, mais une fois que l'on rentre bien dans la preuve, ça coule de source ! Je pense qu'il est judicieux, même si on n'en parle pas, de savoir pourquoi on appelle une matrice irréductible de cette façon, et le lien avec les chaînes de Markov. Il n'est pas extraordinaire en terme de recasages, quoiqu'il rentre dans la leçon sur les valeurs propres, et j'avais trouvé difficile d'avoir des développements bien dans cette leçon là (surtout pour moi pour qui l'analyse numérique n'était pas mon point fort). Attention quand même, il y a pas mal de petites choses à savoir, je le détaille dan mon pdf, avec aussi quelques conseils pour faire une présentation digeste de ce développement un peu technique. Côté recasages justement:

    Racines de l'unité
    Valeurs propres et vecteurs propres

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 70 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)